带权二分图的最优匹配 Kuhn-Munkres算法

招聘公司评价

分工问题如下：某公司有工作人员x1,x2,...,xn,他们去做工作y1,y2,...,yn,每人适合做其中的一项或几项工作，每个人做不同的工作的效益不一样，我们需要制定一个分工方案，使公司的总效益最大，这就是所谓最佳分配问题， 它们数学模型如下：

数学模型：

G是加权完全二分图，V(G)的二分图划分为X，Y；X={x1,...,xn},Y={y1,y2,...yn},w(xiyi)>=0是工作人员xi做yi工作时的效益，求权最大的完备匹配，这种完备匹配称为最佳匹配。

这个问题好象比较的棘手，用穷举法的话举也举死了，效率很低。本节给出一种有效算法，为此，先引入一个定义和一个定理。

定义1 映射l:V(G)->R，满足：任意x∈X,任意y∈Y,成立

l(x)+l(y)>=w(xy),

则称l(v)是二分图G的可行顶标；令

El={xy|xy∈E(G),l(x)+l(y)=w(xy)},

称以El为边集的G之生成子图为相等子图，记为Gl

可行顶标是存在的，例如

l(x)=max w(xy),x∈X;

l(y)=0, y∈Y.

定理1 Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。

证：设M*是Gl的一个完备匹配，因Gl是G的生成子图，故M*也是G的完备匹配。M*中的边之端点集合含G的每个顶点恰一次，所以

W(M*)=Σw(e)=Σl(v) (e∈M*,v∈V(G)).

另一方面，若M是G中任意一个完备匹配，则

W(M)=Σw(e)<=Σl(v) (e∈M,v∈V(G)),

所以

W(M*)>=W(M)，

即M*是最佳匹配，证毕。

定理1告知，欲求二分图的最佳匹配，只需用匈牙利算法求取其相等子图的完备匹配；问题是，当Gl中无完备匹配时怎么办？Kuhn和Munkras给出修改顶标的一个算法，使新的相等子图的最大匹配逐渐扩大，最后出现相等子图的完备匹配。

Kuhn-Munkras算法：

(0) 选定初始的可行顶标l,确定Gl,在Gl中选取一个匹配M。

(1) X中顶皆被M许配，止，M即为最佳匹配；否则，取Gl中未被M许配的顶u,令S={u},T为空。

(2) 若N(S)真包含T，转(3)；若N(S)=T，取

al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}(x∈S,y∈T),

l(v)-al,v∈S;

l(v)= l(v)+al,v∈T;

l(v),其它。

l=l,Gl=Gl。

(3) 选N(S)-T中一顶y,若y已被M许配，且yz∈M,则S=S∪{z},T=T∪{y},转(2)；否则，取Gl中一个M的可增广轨P(u,y),令M=M⊙E(P)，转(1)。

上面的算法看得有点莫名，改那个可行顶标怎么改改就好了？还是得看盾例子

例1 已知K5,5的权矩阵为

y1 y2 y3 y4 y5

x1 3 5 5 4 1

x2 2 2 0 2 2

x3 2 4 4 1 0

x4 0 1 1 0 0

x5 1 2 1 3 3

求最佳匹配，其中K5,5的顶划分为X={xi},Y={yi},i=1,2,3,4,5.

解：

(1)取可行顶标l(v)为l(yi)=0,i=1,2,3,4,5；l(x1)=max(3,5,5,4,1}=5,l(x2)=max{2,2,0,2,2}=2,l(x3)=max(2,4,4,1,0}=4,l(x4)=max{0,1,1,0,0}=1,l(x5)=max{1,2,1,3,3}=3.

(2) Gl及其上之匹配见图7.12。

这个图中ο(G-x2)=3,由Tutte定理知无完备匹配。需要修改顶标。

(3) u=x4,得S={x4,x3,x1},T={y3,y2},N(S)=T,于是

al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}=1. (x∈S,y∈T)

x1,x2,x3,x4,x5的顶标分别修改成4,2,3,0,3；y1,y2,y3,y4,y5的顶标分别修改成0,1,1,0,0。

(4) 用修改后的顶标l得Gl及其上面的一个完备匹配如图7.13。图中粗实线给出了一个最佳匹配，其最大权是2+4+1+4+3=14。

我们看出：al>0；修改后的顶标仍是可行顶标；Gl中仍含Gl中的匹配M；Gl中至少会出现不属于M的一条边，所以会造成M的逐渐增广。

得到可行顶标后求最大匹配：

书上这部分没讲，实际上是这样的，对于上面这个例子来说，通过Kuhn-Munkres得到了顶标l(x)={4,2,3,0,3},l(y)={0,1,1,0,0},那么，对于所有的l(xi)+l(yj) =w(i,j)，在二分图G设置存在边w(i,j)。再用匈牙利算法求出最大匹配，再把匹配中的每一边的权值加起来就是最后的结果了。