快速排序算法 Quick sort

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首先随机选择一个轴，并调整数组内各个数字，使得比轴值大的数在轴的右边，比轴小的数在抽的左边。然后在递归的对左边和右边进行快速排序。

在调整的过程中，可以使用交替填坑的算法。

例如对于序列 4 2 3 0 1 5 第一次随机选择轴值为3。那么首先把轴值与第一个数交换。并保存数值3，得到序列：

3 2 4 0 1 5

p q

现在取两个指针p，q分别指向序列的第一个数和最后一个数。即p指向3，q指向5。现在p指向的数字为坑，可以被替换掉，那么另q指向第一个比轴值小且在p后面的数，即1。那么把1覆盖掉p指向的坑。并且另p++，现在序列变为：

1 2 4 0 1 5

p q

现在q指向的1为坑，现在另p找到第一个比轴值3大的且在q之前的数，即4。那么把4填入q指向的坑中。q--，序列变为：

1 2 4 0 4 5

p q

现在p指向的4为坑，把第一个比轴值3小且在p后面的数为0，那么把0填入坑中，p++，序列变为：

1 2 0 0 4 5

q p

现在p指向的0为坑，发现p>q，那么把轴值填入坑中，即完成了partition的过程。最终序列为：

1 2 0 3 4 5 轴值为3，其左侧的数都比3小，右侧的数都比3大。

然后对序列1 2 3和4 5，递归的调用快速排序算法就可以了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include  <ctime>
#include  <vector>
using namespace std;
void swap(int &a, int &b)
{
int tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
int partition(vector<int> &vec, int begin, int end, int pivot)
{
swap(vec[pivot], vec[begin]);
int x = vec[begin];
int p = begin, q = end;
while( p < q )
{
while( p < q && vec[q] >= x) q--;
if( p < q ) vec[p++] = vec[q];
while( p < q && vec[p] < x) p++;
if( p < q ) vec[q--] = vec[p];
}
vec[p] = x;
return p;
}
void quicksort(vector<int> &vec, int begin, int end)
{
srand(time(0));
if( begin < end )
{
int pivot = rand()%(end-begin+1)+begin;
int pos = partition(vec, begin, end, pivot);
quicksort(vec, begin, pos-1);
quicksort(vec, pos+1, end);
}
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int n;
vector<int> vec;
int tmp;
while( cin>>n )
{
for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
{
cin>>tmp;
vec.push_back(tmp);
}
quicksort(vec, 0, vec.size()-1);
for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i++ )
{
cout<<vec[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
}

View Code
对于快速排序算法的复杂度我们可以进行如下的计算：

对于一个长度为$n$的序列，我们定义指数函数$I(i,j)$：在快速排序算法中如果第$i$个元素和第$j$个元素比较过就为1否则为0。

那么总的比较次数$X$为：

\begin{equation} X = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}I(i,j) \end{equation}

我们可以得到$X$的期望为：

\begin{eqnarray} E(X) &=& E(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}I(i,j))\\ &=& \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}E(I(i,j))\\ &=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}P(\mbox{i is compared with j})\\ &\leq& \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n} \frac{2}{j-i+1}\\ &=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n-i} \frac{2}{k+1}\\ &<& \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k+1}\\ &=& O(n\log n) \end{eqnarray}

其中第5步，i和j比较的概率，可以这么计算，不妨设i和j分别为排完序后的位置且i<j，那么如果i和j之间的数当过轴，那么i和j在后面的过程中就绝对不会在进行比较。

因此i和j比较过只有可能小于i或大于j的数当做轴，那么在下面的递归过程中，最终会形成一个由i到j组成的序列，i为序列的第一个，j为序列的最后一个，那么i和j比较过只有可能i为轴或j为轴。

其中i为轴的概率为在j-i+1个数中选择1个即1/(j-i+1)，同理j被选作为轴的概率也为1/(j-i+1)，即i和j被比较过的概率为2/(j-i+1)。