嵌入式 KMP算法详解及各种应用和BF算法提及

KMP算法详解：

KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的，就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题，只需确定下次匹配j的位置即可，使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。

在KMP算法中，为了确定在匹配不成功时，下次匹配时j的位置，引入了next[]数组，next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。

对于next[]数组的定义如下：

1) next[j]=-1 j=0

2) next[j]=max k:0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]

3) next[j]=0 其他

如：

P a b a b a

j 0 1 2 3 4

next -1 0 0 1 2

即next[j]=k>0时，表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]

因此KMP算法的思想就是：在匹配过程称，若发生不匹配的情况，如果next[j]>=0，则目标串的指针i不变，将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配；若next[j]=-1，则将i右移1位，并将j置0，继续进行比较。

代码实现如下：

[cpp] view
plaincopy

int KMPMatch(char *s,char *p)

{

int next[100];

int i , j;

i = 0;

j = 0;

getNext(p , next);

while(i < strlen(s))

{

if(j == -1 || s[i] == p[j])

{

i++;

j++;

}

else

{

j = next[j]; //消除了指针i的回溯

}

if(j == strlen(p))

return i - strlen(p);

}

return -1;

}

因此KMP算法的关键在于求算next[]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度， 而求算next[]数组的值有两种思路，第一种思路是用递推的思想去求算，还有一种就是直接去求解。

1、按照递推的思想：

根据定义next[0]=-1，假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]

1)若P[j]==P[k]，则有P[0..k]==P[j-k,j]，很显然，next[j+1]=next[j]+1=k+1;

2)若P[j]!=P[k]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next[k]。

因此可以这样去实现：

[cpp] view
plaincopy

void getNext(char *p,int *next)

{

int j,k;

next[0] = -1;

j = 0;

k = -1;

while(j < strlen(p) - 1)

{

if(k == -1 || p[j] == p[k]) //匹配的情况下,p[j]==p[k]

{

j++;

k++;

next[j] = k;

}

else //p[j]!=p[k]

k = next[k];

}

}

2、直接求解方法

[cpp] view
plaincopy

void getNext(char *p,int *next)

{

int i , j , temp;

for(i = 0 ; i < strlen(p) ; ++i)

{

if(i == 0)

{

next[i] = -1; //next[0]=-1

}

else if(i == 1)

{

next[i] = 0; //next[1]=0

}

else

{

temp = i - 1;

for(j = temp ; j > 0 ; --j)

{

if( equals(p , i , j) )

{

next[i] = j; //找到最大的k值

break;

}

}

if(j == 0)

next[i] = 0;

}

}

}

bool equals(char *p,int i,int j) //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等

{

int k = 0;

int s = i - j;

for( ; k <= j - 1 && s <= i - 1 ; k++ , s++)

{

if(p[k] != p[s])

return false;

}

return true;

}

http://poj.org/problem?id=2406

给定一个字符串，问最多是多少个相同子串不重叠连接构成。
KMP的next数组应用。这里主要是如何判断是否有这样的子串，和子串的个数。
若为abababa，显然除其本身外，没有子串满足条件。而分析其next数组，next[7] = 5，next[5] = 3，next[3] = 1，即str[2..7]可由ba子串连接构成，那怎么否定这样的情况呢？很简单，若该子串满足条件，则len%sublen必为0。sunlen可由上面的分析得到为len-next[len]。
因为子串是首尾相接，len/sublen即为substr的个数。
若L%(L-next[L])==0,n = L/(L-next[L]),else n = 1

[cpp] view
plaincopy

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

char pattern[1000002];

int next[1000002];

/*

kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值

next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度

*/

void get_nextval(const char* pattern)

{

int i=0,j=-1;

next[0]= -1;

while(pattern[i] != '\0')

{

if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] ) //pattern[i]表示后缀的单个字符，pattern[j]表示前缀的单个字符

{

++i;

++j;

if(pattern[i] != pattern[j])

next[i]=j;

else

next[i]=next[j];

}

else

j=next[j]; //若j值不相同，则j值回溯

}

}//get_nextval

int main(void)

{

int len;

while(scanf("%s",pattern)!=EOF)

{

if(pattern[0]=='.')

break;

len=strlen(pattern);

get_nextval(pattern);

if(len%(len-next[len])==0)

printf("%d\n",len/(len-next[len]));

else

printf("1\n");

}

return 0;

}

http://poj.org/problem?id=1961
大意：

定义字符串A,若A最多由n个相同字串s连接而成，则A=s^n,如"aaa" = "a"^3,"abab" = "ab"^2

"ababa" = "ababa"^1

给出一个字符串A，求该字符串的所有前缀中有多少个前缀SA= s^n（n>1）

输出符合条件的前缀长度及其对应的n
如aaa

前缀aa的长度为2,由2个'a'组成

前缀aaa的长度为3，由3个"a"组成
分析：KMP

若某一长度L的前缀符合上诉条件，则

1.next[L]!=0(next[L]=0时字串为原串，不符合条件)

2.L%(L-next[L])==0（此时字串的长度为L/next[L]）
对于2：有str[0]....str[next[L]-1]=str[L-next[L]-1]...str[L-1]

=》str[L-next[L]-1] = str[L-next[L]-1+L-next[L]-1] = str[2*(L-next[L]-1)];

假设S = L-next[L]-1;则有str[0]=str[s]=str[2*s]=str[3*s]...str[k*s],对于所有i%s==0,均有s[i]=s[0]

同理，str[1]=str[s+1]=str[2*s+1]....

str[j]=str[s+j]=str[2*s+j]....

综上，若L%S==0,则可得L为str[0]...str[s-1]的相同字串组成，

总长度为L,其中字串长度SL = s-0+1=L-next[L],循环次数为L/SL

故对于所有大于1的前缀，只要其符合上述条件，即为答案之一

[cpp] view
plaincopy

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

char pattern[1000002];

int next[1000002];

/*

kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值

next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度

*/

void get_nextval(const char* pattern)

{

int i=0,j=-1;

next[0]= -1;

while(pattern[i] != '\0')

{

if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )

{

++i;

++j;

next[i]=j;

}

else

j=next[j];

}

}//get_nextval

int main(void)

{

int i,len,n,j=1;

while(scanf("%d",&n)!=EOF)

{

if(!n)

break;

scanf("%s",pattern);

len=strlen(pattern);

get_nextval(pattern);

printf("Test case #%d\n",j++);

for(i=2;i<=len;i++)

{

if(i%(i-next[i])==0 && i/(i-next[i])>1)

printf("%d %d\n",i,i/(i-next[i]));

}

printf("\n");

}

return 0;

}

http://poj.org/problem?id=2752

大意：

给出一个字符串A,求A有多少个前缀同时也是后缀，从小到大输出这些前缀的长度。
分析：KMP

对于长度为len的字符串，由next的定义知：

A[0]A[1]...A[next[len]-1]=A[len-next[len]]...A[len-1]此时A[0]A[1]...A[next[len]-1]为一个符合条件的前缀

有A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1] = A[len-next[next[len] - next[next[len]]]...A[next[len]-1],故A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1]也是一个符合条件的前缀

故从len=>next[len]=>next[next[len]] ....=>直到某个next[]为0均为合法答案，注意当首位单词相同时，也为答案。

[cpp] view
plaincopy

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<vector>

using namespace std;

char pattern[400002];

int next[400002];

/*

kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值

next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度

*/

void get_nextval(const char* pattern)

{

int i=0,j=-1;

next[0]= -1;

while(pattern[i] != '\0')

{

if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )

{

++i;

++j;

next[i]=j;

}

else

j=next[j];

}

}//get_nextval

int main(void)

{

int i,len,n;

vector<int>ans;

while(scanf("%s",pattern)!=EOF)

{

ans.clear();

len=strlen(pattern);

get_nextval(pattern);

n=len;

while(n)

{

ans.push_back(n);

n=next
;

}

if(pattern[0]==pattern[n-1]) //首部、尾部字符相同

ans.push_back(1);

i=ans.size()-1;

for(;i>0;i--)

printf("%d ",ans[i]);

printf("%d\n",ans[0]);

}

return 0;

}

在介绍KMP算法之前，先介绍一下BF算法。

一.BF算法

BF算法是普通的模式匹配算法，BF算法的思想就是将目标串S的第一个字符与模式串P的第一个字符进行匹配，若相等，则继续比较S的第二个字符和P的第二个字符；若不相等，则比较S的第二个字符和P的第一个字符，依次比较下去，直到得出最后的匹配结果。

举例说明：

S: ababcababa

P: ababa

　 BF算法匹配的步骤如下

i=0 i=1
i=2 i=3 i=4

第一趟:ababcababa 第二趟:ababcababa
第三趟:ababcababa 第四趟:ababcababa 第五趟:ababcababa

ababa ababa
ababa ababa ababa

j=0 j=1 j=2 j=3 j=4(i和j回溯)

i=1 i=2 i=3 i=4 i=3

第六趟:ababcababa 第七趟:ababcababa
第八趟:ababcababa 第九趟:ababcababa 第十趟:ababcababa

ababa ababa
ababa ababa ababa

j=0 j=0 j=1 j=2(i和j回溯) j=0

i=4 i=5 i=6 i=7 i=8

第十一趟:ababcababa 第十二趟:ababcababa
第十三趟:ababcababa 第十四趟:ababcababa 第十五趟:ababcababa

ababa ababa
ababa ababa ababa

j=0 j=0 j=1 j=2 j=3

i=9

第十六趟:ababcababa

ababa

j=4(匹配成功)

代码实现:

int BFMatch(char *s,char *p)
{
int i,j;
i=0;
while(i<strlen(s))
{
j=0;
while(s[i]==p[j]&&j<strlen(p))
{
i++;
j++;
}
if(j==strlen(p))
return i-strlen(p);
i=i-j+1;                //指针i回溯
}
return -1;
}

　 其实在上面的匹配过程中，有很多比较是多余的。在第五趟匹配失败的时候，在第六趟，i可以保持不变，j值为2。因为在前面匹配的过程中，对于串S，已知s0s1s2s3=p0p1p2p3，又因为p0!=p1!，所以第六趟的匹配是多余的。又由于p0==p2,p1==p3，所以第七趟和第八趟的匹配也是多余的。在KMP算法中就省略了这些多余的匹配。

二.KMP算法

KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的，就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题，只需确定下次匹配j的位置即可，使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。

　 在KMP算法中，为了确定在匹配不成功时，下次匹配时j的位置，引入了next[]数组，next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。

　 对于next[]数组的定义如下：

　1) next[j] = -1 j = 0

　2) next[j] = max(k): 0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]

　3) next[j] = 0 其他

　如：

　P a b a b a

　j 0 1 2 3 4

next -1 0 0 1 2

　即next[j]=k>0时，表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]

　因此KMP算法的思想就是：在匹配过程称，若发生不匹配的情况，如果next[j]>=0，则目标串的指针i不变，将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配；若next[j]=-1，则将i右移1位，并将j置0，继续进行比较。

代码实现如下：

int KMPMatch(char *s,char *p)
{
int next[100];
int i,j;
i=0;
j=0;
getNext(p,next);
while(i<strlen(s))
{
if(j==-1||s[i]==p[j])
{
i++;
j++;
}
else
{
j=next[j];       //消除了指针i的回溯
}
if(j==strlen(p))
return i-strlen(p);
}
return -1;
}

　　因此KMP算法的关键在于求算next[]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度， 而求算next[]数组的值有两种思路，第一种思路是用递推的思想去求算，还有一种就是直接去求解。

1.按照递推的思想：

根据定义next[0]=-1，假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]

1)若P[j]==P[k]，则有P[0..k]==P[j-k,j]，很显然，next[j+1]=next[j]+1=k+1;

2)若P[j]!=P[k]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next[k]。

因此可以这样去实现：

void getNext(char *p,int *next)
{
int j,k;
next[0]=-1;
j=0;
k=-1;
while(j<strlen(p)-1)
{
if(k==-1||p[j]==p[k])    //匹配的情况下,p[j]==p[k]
{
j++;
k++;
next[j]=k;
}
else                   //p[j]!=p[k]
k=next[k];
}
}

2.直接求解方法

void getNext(char *p,int *next)
{
int i,j,temp;
for(i=0;i<strlen(p);i++)
{
if(i==0)
{
next[i]=-1;     //next[0]=-1
}
else if(i==1)
{
next[i]=0;      //next[1]=0
}
else
{
temp=i-1;
for(j=temp;j>0;j--)
{
if(equals(p,i,j))
{
next[i]=j;   //找到最大的k值
break;
}
}
if(j==0)
next[i]=0;
}
}
}

bool equals(char *p,int i,int j)     //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等
{
int k=0;
int s=i-j;
for(;k<=j-1&&s<=i-1;k++,s++)
{
if(p[k]!=p[s])
return false;
}
return true;
}