RMQ(Range Minimum/Maximum Query)——ST算法

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：


RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。




预处理:


预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。


例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值


注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的


所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。




查询:


假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).


于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];


而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值


我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.


例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))


*/






#include<iostream>


#include<cmath>


using namespace std;


#define MAXN 1000000


#define mmin(a, b) ((a)<=(b)?(a):(b))


#define mmax(a, b) ((a)>=(b)?(a):(b))




int num[MAXN];


int f1[MAXN][100];


int f2[MAXN][100];




//测试输出所有的f(i, j)


void dump(int n)


{


int i, j;


for(i = 0; i < n; i++)


{


for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++)


{


printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f1[i][j]);


}


printf("\n");


}


for(i = 0; i < n; i++)


printf("%d ", num[i]);


printf("\n");


for(i = 0; i < n; i++)


{


for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++)


{


printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f2[i][j]);


}


printf("\n");


}


for(i = 0; i < n; i++)


printf("%d ", num[i]);


printf("\n");


}




//sparse table算法


void st(int n)


{


int i, j, k, m;


k = (int) (log((double)n) / log(2.0));


for(i = 0; i < n; i++)


{


f1[i][0] = num[i]; //递推的初值


f2[i][0] = num[i];


}


for(j = 1; j <= k; j++)


{ //自底向上递推


for(i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++)


{


m = i + (1 << (j - 1)); //求出中间的那个值


f1[i][j] = mmax(f1[i][j-1], f1[m][j-1]);


f2[i][j] = mmin(f2[i][j-1], f2[m][j-1]);


}


}


}




//查询i和j之间的最值,注意i是从0开始的


void rmq(int i, int j)


{


int k = (int)(log(double(j-i+1)) / log(2.0)), t1, t2; //用对2去对数的方法求出k


t1 = mmax(f1[i][k], f1[j - (1<<k) + 1][k]);


t2 = mmin(f2[i][k], f2[j - (1<<k) + 1][k]);


printf("%d\n",t1 - t2);


}




int main()


{


int i,N,Q,A,B;


scanf("%d %d", &N, &Q);


for (i = 0; i < N; ++i)


{


scanf("%d", num+i);


}




st(N); //初始化


//dump(N); //测试输出所有f(i, j)


while(Q--)


{


scanf("%d %d",&A,&B);


rmq(A-1, B-1);


}


return 0;


}