ural 1017. Staircases（dp数的划分）

题意:

n块砖块，按照从小到大的顺序（可以不连续）排成一堆堆，计算有多少种排列方法

分析：（待补。。。）

     dp[k]
表示将数n划分成若干个不相等的数，并且划分的数都大于等于k，

由推导可知：

划分成最小大于k的：

    dp[k+1]

划分成最小等于k的：

    dp[k+1][n-k]

所以状态转移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i+1][j-i];

注意！最后结果是dp[1]
表示将n划分成若干不等且大于等于1的

但是题目要求阶梯大于等于2个，所以最后要减去只有一个阶梯的情况

就是n划分成一块：n划分为n所以减一

    ans=dp[1]
-1;

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转自：http://www.cnblogs.com/skyivben/archive/2009/03/02/1401728.html

数学背景

这道题目涉及到数的分划，属于组合数学和数论的研究领域。

1、数 n 的分划(partition)是将 n 表示成任意多个正整数之和的形式。例如，数 5 的分划如下：

5
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1
用 p(n) 来记 n 的分划的个数，这样就有 p(5) = 7。

为了求解 p(n)，我们引入一个中间函数 p(k, n)，表示数 n 的最小被加数不小于 k 的分划的个数。对于给定的 k 值，p(k, n) 正好分为以下两类：

最小被加数等于 k

最小被加数大于 k
满足第一个条件的分划的个数是 p(k, n − k)。 这是因为，让我们想象数
n − k 的最小被加数不小于 k 的分划，然后将 "+ k" 附加每一个分划后面，就得到数 n 的最小被加数等于 k 的分划。以 n = 5, k = 1 为例，数 4 的最小被加数不小于 1 的分划是4、3 + 1、2 + 2、2 + 1 + 1 和1 + 1 + 1 + 1，即
p(k, n − k) =p(1, 4) = 5。然后，将 "+ 1"
附加在这 5 个分划后面，就得到数 5 的最小被加数等于 1 的分划：4 + 1、3 + 1 + 1、2 + 2 + 1、2 + 1 + 1 + 1 和1 + 1 + 1 + 1 + 1。

满足第二个条件的分划的个数是 p(k + 1, n) 。以 n = 5, k = 1 为例，数 5 的最小被加数大于 1 的分划是5 和
3 + 2，即 p(k + 1, n) =p(2, 5) = 2。

也就是说，p(1, 5) = p(2, 5) + p(1, 4)。因此：

p(k, n) = 0  如果 k > n
p(k, n) = 1  如果 k = n
p(k, n) = p(k+1, n) +
p(k, n-k)  其它情况
这样，就可以递归地求解 p(k, n)，其部分值见下表：

	k
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	2	1	0	0	0	0	0	0	0	0
3	3	1	1	0	0	0	0	0	0	0
4	5	2	1	1	0	0	0	0	0	0
5	7	2	1	1	1	0	0	0	0	0
6	11	4	2	1	1	1	0	0	0	0
7	15	4	2	1	1	1	1	0	0	0
8	22	7	3	2	1	1	1	1	0	0
9	30	8	4	2	1	1	1	1	1	0
10	42	12	5	3	2	1	1	1	1	1

最后，p(n) = p(1, n)。

 

2、现在，让我们的来考虑 将 n 分成不相等的正整数之和的分划。例如，数 8 的分划如下：

8
7 + 1
6 + 2
5 + 3
5 + 2 + 1
4 + 3 + 1
用 q(n) 来记 n 的分划的个数，这样就有 q(8) = 6。

为了求解 q(n)，我们引入一个中间函数 q(k, n)，表示数 n 的最小被加数不小于 k 的分划的个数。对于给定的 k 值，q(k, n) 正好分为以下两类：

最小被加数等于 k

最小被加数大于 k
满足第一个条件的分划的个数是 q(k + 1, n − k)。 这是因为，让我们想象数n −
k 的最小被加数大于 k 的分划，然后将 "+ k" 附加每一个分划后面，就得到数 n 的最小被加数等于 k 的分划。以 n = 8, k = 1 为例，数 7 的最小被加数大于 1 的分划是7、5 + 2 和
4 + 3，即 q(k + 1,n − k) = q(2, 7) = 3。然后，将 "+ 1"
附加在这 3 个分划后面，就得到数 8 的最小被加数等于 1 的分划：7 + 1、5 + 2 + 1 和4 + 3 + 1。

满足第二个条件的分划的个数是 q(k + 1, n) 。以 n = 8, k = 1 为例，数 8 的最小被加数大于 1 的分划是8、6 + 2 和
5 + 3，即 q(k + 1,n) = q(2, 8) = 3。

也就是说，q(1, 8) = q(2, 8) + q(2, 7)。因此：

q(k, n) = 0  如果 k > n
q(k, n) = 1  如果 k = n
q(k, n) = q(k+1, n) +
q(k + 1, n-k)  其它情况
这样，就可以递归地求解 q(k, n)，其部分值见下表：

 

	k
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
3	2	1	1	0	0	0	0	0	0	0
4	2	1	1	1	0	0	0	0	0	0
5	3	2	1	1	1	0	0	0	0	0
6	4	2	1	1	1	1	0	0	0	0
7	5	3	2	1	1	1	1	0	0	0
8	6	3	2	1	1	1	1	1	0	0
9	8	5	3	2	1	1	1	1	1	0
10	10	5	3	2	1	1	1	1	1	1

 

最后，q(n) = q(1, n)。

 

 

#include  <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll dp[1003][1003];

int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1;i<=n;i++)
dp[i][i]=1;
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i+1][j-i];
}
printf("%I64d\n",dp[1]
-1);
}
return 0;
}