北大ACM暑期培训课程目录

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今天ACM暑期实训开始了，今天讲述的内容是：（点击下载课程资源）

7.18 依然是动态规划

7.17 动态规划

7.16 数学题：组合数学，数论等

7.15 数据结构（二）: 并查集, DFA, Trie图等

7.14 数据结构（一）: 线段树，树状数组，二维线段树。

一．线段树，树状数组，二维线段树：

１．线段树：invertal tree （称为区间树更加合适）

作用：快速区间查询，用于解决区间统计的有关问题。

重点：同层节点不重叠。

每层最多有两个终止节点。

更新和进行区间分解的时间复杂度均为log(n);

方法：调用会多次使用递归更新插入查询；

空间：开空间的时候，一般情况下开4n大小，2*2log
- 1 <= 4n;

关键在于是否接近2的幂。如果不超过2的幂一般开3n即可，超过开4n

不同的情况可能MLE，

具体的资料可以网上查询。

参考题目：

POJ3264——Balanced Lineup（线段树）

POJ3468__A Simple Problem with Integers (线段树）

hdu1754___I Hate It (线段树）

２．树状数组：

作用：与线段树相同，快速求出任意区间的和。但是相对于线段树，更加容易编写，速度也有优势。

单个元素修改，反复求区间。

参考题目：树状数组_POJ树状数组初探

３．二维线段树，二维树状数组：

　　二维二叉树是一棵４叉树。也可以用树套树实现，两层线段树。

　 整个线段树使用二维数组实现。

用完全二叉树，一般情况下3倍即可。



二维即对应之前的数字找对应的数组编号（省略了l，r）

更新时只需要对相应的行列更新即可。

二.并查集，DFA，Trie树

1.并查集

1.改进1：

较小的rank挂在较大的rank根部，这样新生成的树的深度也不会超过原来较大的rank（树的深度）。平衡就是log量级的。

小记：STL中的set函数，进行查找，量级同样是log(N)，set是使用平衡二叉树实现的，左右子树高度相同。

2.改进2:

路径压缩，即



以此来缩短路径。

示例题目：

POJ1611 The Suspects （并查集）

POJ2492 A Bug's Life （并查集）

POJ1182 食物链 (并查集）*新方法

POJ1988 CubeStacking (并查集）

POJ1291 This Sentence is False (并查集 || 哈希）

确定的有穷自动机。在编译原理中有所讲述。Compiler_词法分析_表驱动法_分析文件

3.Trie树

Trie图是一种特殊的DFA。通过遍历字符串来建立，可以由Trie构造出来。

KMP+Trie图即为AC自动机。

危险节点（终止节点，循环便利所有前缀节点，均为终止节点）。

关于时间复杂度：

层次代表长度，往上走的都是后缀，最多往下走一层，trie图中移动一层。

基础题目：HihoCoder——Trie树

三.数论，组合数学，博弈，群（置换群），数学问题

1.数论，组合数学

数论内容：扩展gcd，裴蜀定理，模线性方程，中国剩余定理，高斯消元法，线性筛素数，欧拉函数，欧拉定理。

1）扩展gcd与裴蜀定理

注意：d为公约数,直接加（L）表示（mod L），不再赘述。

gcd(a,b) = 1 说明 a,b互素。

au + bv = 1 ==> au + bv = gcd(a,b)

因为（a = d*a', b = d*b'）

int gcd(int a, int b)
{
//b == 0 means that a is b's cd;
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

int ex_gcd(int a, int b, int &u, int &v)
{
if(b == 0)
{
u = 1, v = 0;
return a;
}

/*
* prove:
* au + bv = d;
* (a - b)u + b(u + v) = d
* a' = a % b;
* a = b * t + a'
* a'u + b(tu + v) = d
* v' = b(tu + v)
* a'u + bv' = d
*/

int d = ex_gcd(b, b%a, v, u);   //翻转u, v
v = v - a/b * u;                //容易溢出
return d;
}

2 )模线性方程

ax = d (mod b) 可以转换成为 ax + by = d .

3）中国剩余定理

1.一般情况

n组数字(ai, bi)，其中bi两两互素。

求x使得

x = a1 mod b1

x = a2 mod b2

...

x = an mod bn

类似思想有拉格朗日差值公式。

证明：

B = b1 * b2 * b3 ... *bi

ci = B / bi

mi * ci = 1 (bi)

ai* ci * mi = ai (bi)

...得证

x = a1b1m1 + a2b2m2 + ... anbnmn;

2.特殊情况

bi两两不互素，则化为一个式子。

~ x = a1 (b1)

~ x = a2 (b2)

~ x = a1 + b1 * u x = a2 + b2 * v

~ b1*u + b2*v = (a2 - a1) 化为裴蜀定理一般情况au+bv=d, d = gcd(a,b)，有解当且仅当gcd(a,b) | (a1-a2)

4）高斯消元法

5）线性筛素数

减少筛的次数，只筛一次素数。

void getPrime(int n)//n为最大数
{
int num = 0;
memset(Prime, 0, sizeof(Prime));
memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));

for(int i = 2; i <= n; i ++)
{
if(isPrime[i])
Prime[num++] = i;
for(int j = 0; j < num && i * Prime[j] <= n; j++)
{
isPrime[i*Prime[j]] = 0;
if(i % Prime[j] == 0) break;
}
}

6 ) 欧拉函数，欧拉定理

欧拉函数

= n - n / pi = n ( 1 - 1/p1) ( 1 / p2) ... 相当于素因子展开 + 容斥原理

p为质因数


可以从(1 - 1/p1 - 1/p2 + 1/p1*p2)看出。

参考题目：hdu1286 找新朋友 （欧拉函数法）

欧拉定理：

a^φ(n) = 1 (mod n) => a^x = a ^ ( x mod φ(n) + φ(n)) (mod n) （不需要互素）

2.博弈

主要讨论了SP函数。

3.群

主要讨论了置换群的问题，在离散数学中有所涉及。着色定理可以有费马小定理推导出。

4.数学问题

杂题_POJ上的过桥问题

四.动态规划

递归一般转换方法。


递归函数有n个参数,就定义一个n维的数组,数组的下标是递归函数参数的取值范围,数组元素的值是递归函数的返回值,这样就可以从边界值开始,逐步填充数组,相当于计算递归函数值的逆过程。