UVA 10910 Marks Distribution（组合数学 或 递推）

题意：一个人N门课程的总成绩为T，每门课程的最低成绩为P，求一共有多少种可能的分配方法。

题解：可以先求出超出的部分 T = T - n*p；剩余的相当于n个里面每个科目放0，1分等。

这题我只懂了递推，不懂组合数学，看来太弱了

dp[i][j] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1] +......+d[[i-1][j];表示前i个盒子放j个球的方法

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[80][80];
int main(){
int t,n,T,p;
cin >> t;
while(t--){
cin >> n >> T >> p;
T = T - n * p;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i = 0;i <= n;i++)
dp[i][0] = 1;
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = 1;j <= T;j++){
for(int k = 0;k <= j;k++){
dp[i][j] += dp[i-1][k];
}
}
}
cout << dp
[T] << endl;
}
}

组合数学

把T分分成T份放入到n个科目中，相当于把T个球放到n个盘子中，用多少种方法？（求大神解释|隔板法俺不懂啊）

#include <cstdio>
typedef long long LL;

LL C(LL n, LL k) {
if(n - k < k) k = n - k;
LL ans = 1;
for(int i = 1; i <= k; i++)
ans = ans * (n - i + 1) / i;
return ans;
}

int main() {
int cas;
LL n, t, p;
scanf("%d", &cas);
while(cas--) {
scanf("%lld%lld%lld", &n, &t, &p);
t = t - n * p;
LL ans = C(n + t - 1, n - 1);
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}

隔板法：

将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？

分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.

解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法.

点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品和m-1块隔板排成一排，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法

例2：有广西橘子，烟台苹果，莱阳梨若干，从中随意取出四个，问共有多少种不同取法？

问题等价于有四个水果篮，将其分为三组向里面加入不同水果，且允许篮子为空

分为三组需要2个隔板，将水果篮与隔板并排 ，隔板共有4+2个放置位置，故有C（4+2），2个选择，

即15种。[1] 

将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？

分析：本题是名额分配问题，用隔板法.

解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有C19 17种不同的放法，根据分步计数原理，共有C19 17种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有Cm-1
n-1种分法.