样条之埃尔米特（Hermite）

埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901） 法国数学家。巴黎综合工科学校毕业。曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。在函数论、高等代数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对称性）很多，如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。

　　这种算法是由上一节讲的CatmullRom演变而成。

关于插值与样条的介绍请看：/article/4891792.html

核心代码：

void    YcHermiteSpline::BuildWeights()
{
ClearWeights();

for (Yuint i = 0; i < 4; i++)
{
m_splineWeights[i] = (Yreal*)malloc((m_subD)*sizeof(Yreal));
}

Yreal u, u_2, u_3;
for (Yuint i = 0; i < m_subD; i++)
{
u = (float)i / m_subD;
u_2 = u * u;
u_3 = u_2 * u;

// 参见"游戏编程精粹1"P420
/*
m0 = ((1 - alpha) / 2.0f) * ((v2 - v1) + v3 - v2);
m1 = ((1 - alpha) / 2.0f) * ((v3 - v2) + v4 - v3);

dest = (((2 * t3) - (3 * t2) + 1) * v2) +
((t3 - (2 * t2) + t) * m0) +
((t3 - t2) * m1) +
(((-2 * t3) + (3 * t2)) * v3);

====================

m0 = ((1 - alpha) / 2.0f) * (v3 - v1);
m1 = ((1 - alpha) / 2.0f) * (v4 - v2);

m0 = ((1 - alpha) / 2.0f) * v3 - ((1 - alpha) / 2.0f) * v1;
m1 = ((1 - alpha) / 2.0f) * v4 - ((1 - alpha) / 2.0f) * v2;

====================

dest = (((2 * t3) - (3 * t2) + 1) * v2) +
((t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v3)
-((t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v1)
((t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v4)
-((t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f) * v2)
(((-2 * t3) + (3 * t2)) * v3);

====================

v1: -((t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f)
v2: ((2 * t3) - (3 * t2) + 1) - (t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f)
v3: (t3 - (2 * t2) + t) * ((1 - alpha) / 2.0f) + ((-2 * t3) + (3 * t2))
v4: (t3 - t2) * ((1 - alpha) / 2.0f)
*/

// CatmullRom
// 貌似m_alpha==0时,Hermite就是CatmullRom
//m_splineWeights[0][i] = (-1.0f*u_3 + 2.0f*u_2 - 1.0f*u + 0.0f)*0.5f;
//m_splineWeights[1][i] = ( 3.0f*u_3 - 5.0f*u_2 + 0.0f*u + 2.0f)*0.5f;
//m_splineWeights[2][i] = (-3.0f*u_3 + 4.0f*u_2 + 1.0f*u + 0.0f)*0.5f;
//m_splineWeights[3][i] = ( 1.0f*u_3 - 1.0f*u_2 + 0.0f*u + 0.0f)*0.5f;

m_splineWeights[0][i] = -(u_3 - (2 * u_2) + u) * (1 - m_alpha) / 2.0f;
m_splineWeights[1][i] = (2 * u_3) - (3 * u_2) + 1 - (u_3 - u_2) * (1 - m_alpha) / 2.0f;
m_splineWeights[2][i] = (-2 * u_3) + (3 * u_2) + (u_3 - (2 * u_2) + u) * (1 - m_alpha) / 2.0f;
m_splineWeights[3][i] = (u_3 - u_2) * (1 - m_alpha) / 2.0f;
}
}

切图：





相关软件的下载地址为：http://files.cnblogs.com/WhyEngine/TestSpline.zip