利用赛瓦定理的一个证明

命题：如图所示，ABCD为一个四边形，对角线AC为∠BAD的角平分线。取CD上任一点E，连接BE，交AC于点F；连接DF交BC于点G；证明AC也是∠GAE的角平分线。

平面欧氏几何证明方法：如下图做辅助线，利用三角形相似，角平分线定理，以及赛瓦定理，最终命题得证。



在射影平面内，利用代数方法证明如下：将A、B、C、D、E各点参数化，用齐次坐标表示。取B点为原点[0;0;1]，旋转画面使得AC与y轴平行。令直线AB的斜率为k，则AB=[-k;1;0]。取A点坐标为[a;k*a;1]，取C点坐标为C=[a;c;1]。由于AC为∠BAD的角平分线，所以AD斜率为-k。取D点横坐标为d，则点D为直线AD与x=d的交点，所以D=AD×[1;0;-d]。同理取CD上任意点E的横坐标为e，则E=CD×[1;0;-e]。

则有：BE=B×E，F=BE×AC，DG=D×F，G=DG×BC；AG=A×G，AE=A×E。对AG和AE进行归一化，即可求得两条直线的斜率。斜率相反，所以命题得证。

Matlab代码：

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syms a k c d e real

A=[a;k*a;1]

B=[0;0;1]

C=[a;c;1]

AB=cross(A,B)

AB=AB/a

AC=[1;0;-a]

AD=[k;1;-2*k*a]

D=[d;k*(2*a-d);1]

CD=simplify(cross(C,D))

E=simplify(cross(CD,[1;0;-e]))

F=simplify(cross(AC,cross(B,E)))

G=simplify(cross(cross(B,C),cross(D,F)))

AG=simplify(cross(A,G))

AE=simplify(cross(A,E))

AE=simplify(AE/AE(2))

AG=simplify(AG/AG(2))

AG(1)+AE(1)

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上面的代码最终得到，ans=0