2014年四川卷压轴题

(1) 根据题意，$g(x)={\rm e}^x-2ax-b$，$g'(x)={\rm e}^x-2a$，于是
1° $a\leqslant \dfrac 12$ 时，函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值为 $g(0)=1-b$；
2° $\dfrac 12 < a < \dfrac {\rm e}{2}$ 时，函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值为 $g(\ln (2a))=2a-2a\ln(2a)-b$；
3° $a\geqslant \dfrac {\rm e}2$ 时，函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值为 $g(1)={\rm e}-2a-b$．

(2) 一方面，注意到 $f(0)=f(1)=0$，因此函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 内有三个零点，因此其导函数 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上至少有两个零点．
另一方面， 函数 $f''(x)$ 为单调递增函数，因此 $f'(x)$ 至多有两个零点．
这就说明函数 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有两个零点为函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点的充分必要条件．

如果我们将 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上的零点看作是指数函数 $y={\rm e}^x $ 的图象与直线 $y=2ax+b$ 的交点，那么条件 $f(1)=0$ 即 $a+b={\rm e}-1$ 意味着直线 $y=2ax+b$ 过定点 $P\left(\dfrac 12,{\rm e}-1\right)$．



$P$ 点在指数函数 $y={\rm e}^x $ 图象的上方，记 $A(0,1)$，$B(1,{\rm e})$ ，则指数函数 $y={\rm e}^x $ 的图象与直线 $y=2ax+b$ 有两个交点等价于直线斜率 $2a$ 在 $k_{PA}$ 和 $k_{PB}$ 之间．不难计算得 $a$ 的取值范围为 $({\rm e}-2,1)$．