【贪心】【POJ3154】墓地雕塑（Graveyard, NEERC 2006, LA 3708）需要稍稍加工的（先贪心，再确保能这样贪（可行性&&如果可行必定最优&&非证明最优性）的题）（K）

例题4 墓地雕塑（Graveyard, NEERC 2006, LA 3708）

在一个周长为10000的圆上等距分布着n个雕塑。现在又有m个新雕塑加入（位置可以随意放），希望所有n+m个雕塑在圆周上均匀分布。这就需要移动其中一些原有的雕塑。要求n个雕塑移动的总距离尽量小。

【输入格式】

输入包含若干组数据。每组数据仅一行，包含两个整数n和m（2≤n≤1 000，1≤m
≤1 000），即原始的雕塑数量和新加的雕塑数量。输入结束标志为文件结束符（EOF）。

【输出格式】

输入仅一行，为最小总距离，精确到10-4。

【样例输入】

2 1

2 3

3 1

10 10

【样例输出】

1666.6667

1000.0

1666.6667

0.0

这道题 是一边写博客 一边思考的一道题

首先 显然发现 +了雕像后 可以保证一个雕像始终不会动



这是 10个雕像 变为11个雕像的时候 显然发现因为11个雕像的时候间距小于10个雕像的时候

使得在（11）红线 前面的（10）白线 选择移动到前方更近

在（11）红线 后方的（10）白线 选择移动到后方更近

显然

在m=1的情况下 选择附近最近的搬移位置即可 且能保证不会有2个雕像搬到同一位置

考虑m=2 ：



10个雕像 变为12个雕像的时候

3个红色的线就是几条类似上面11时候红色的 分界线

我们可以也发现。。 搬移到附近最近位置即可；

。。。但是只能从图片上看出

严格证明想了一段时间还是没有想出来

好吧 似乎通过严格证明再得出 搬到附近最近的位置这个结论估计是不行的。

只能通过 搬到附近最近的位置这个假设 证明出是最优解 并且证明出不会搬移到同一点（书上解法）

书上面有讲解 不过因为是直接看书得出的题解 我还是过两天自己仿书上写一遍题解吧 （今天10-10）

10-12 再次编辑：

step1:

为了使操作简便 假设长度为N+M（后面知道这一步是这道题的精髓）

step2:

原雕塑位置为pos=((N+M)/N )*i (i=0...N-1)

step3:

根据我们上面的图的操作我们知道要找距离最近的点

（若不搬到同一处 显然是最优的，但不知道是否正确）

那么该如何找最近的点呢？

这就体现了step 1的优越性了

floor(pos+0.5) 即可

四舍五入即为一个寻找最近的整数点的方法不是吗？

新雕塑的位置全部为一个整数点；

所以是一个十分赞的方法

程序流程到此结束

证明：

为何这样是正确的？证明可行性

反证法：

假设有两个原雕塑搬到同一点 比如 2

那么 两个雕塑相距最远的可能是什么？

1.49999999999 与 2.49999999999

即使这样两者距离也不过是等于1

显然可知原雕塑距离一定要大于1的

固不可能搬到同一点（这也是当时缩放的一个好处，便于推理）

小贴士:

如果考试的时候无法证明这一点怎么办？

不如从1 for 到 10000 打表证明不存在这种情况

打表程序如下：

AC代码如下：

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
double pos,ans;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
pos=(double)(n+m)/n*i;
ans=ans+abs(floor(pos+0.5)-pos);
}
printf("%.4lf\n",ans*10000/(double)(n+m));
}
return 0;
}