图的单源最短路径Dijkstra算法
2014-10-09 00:49
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单源最短路径问题
给定一个带权有向图 G=(V,E) ,其中每条边的权是一个非负实数。另外,还给定
V 中的一个顶点,称为源。现在我们要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,k和s是这条路径上的一个中间顶点,那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离,那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s),那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二.Dijkstra算法
由上述性质可知,如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+map[i][j]}。根据这种思路,
假设存在G=<V,E>,源顶点为V0,U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离,path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i,将i加入到U中;
2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+map[i][j]})
3.知道U=V,停止。
举例hdu
2544 最短路
给定一个带权有向图 G=(V,E) ,其中每条边的权是一个非负实数。另外,还给定
V 中的一个顶点,称为源。现在我们要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,k和s是这条路径上的一个中间顶点,那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离,那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s),那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二.Dijkstra算法
由上述性质可知,如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+map[i][j]}。根据这种思路,
假设存在G=<V,E>,源顶点为V0,U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离,path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i,将i加入到U中;
2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+map[i][j]})
3.知道U=V,停止。
举例hdu
2544 最短路
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int map[101][101]; const int Max=1000000; bool path[101]; //路径记录 int dist[101]; //用于存储到各点最短路径的权值和 dist[v]表示v0到v的最短路径长度 int dijkstra(int v0,int n) { bool visit[101]; //顶点是否加入集合 for (int i=0; i<n; i++) { visit[i]=false; //都还没有加入集合状态 dist[i]=map[v0][i]; //将与v0点有连线的顶点加上权值 path[i]=v0; //初始化为v0 } dist[v0]=0; //v0-v0路径为0 visit[v0]=true; //v0已加入集合,标记 for (int i=0; i<n-1; i++) //选择n-1次 { int min=1000000; int k=-1; for (int j=0; j<n; j++) { if(!visit[j] && min>dist[j]) //寻找离v0最近的未加入集合的顶点 { min=dist[j]; k=j; } } visit[k]=true; for (int j=0; j<n; j++) { //如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度还要短的话 if(!visit[j] && min+map[k][j]<dist[j]) {//说明找到了更短的路径,修改dist,path. dist[j]=min+map[k][j]; //修改当前路径长度 path[j]=k; //当前路径经过k } } } return dist[n-1]; } void Display(int v0,int v) //逆向追踪 path[v1]=v2表示v0到v中顶点v1的前驱是v2. { int num[100]; int pos=0; printf("%d-%d weight:%d\n",v0+1,v+1,dist[v]); num[pos++]=v+1; int k=path[v]; while (k!=v0) { num[pos++]=k+1; k=path[k]; } num[pos++]=v0+1; cout<<"path:"; for (int i=pos-1; i>=0; i--) { cout<<num[i]<<" "; } cout<<endl; } int main() { int n,m; while (cin>>n>>m && (n || m)) { int i,j; int c; memset(map, Max, sizeof(map)); for (int k=0; k<m; k++) { cin>>i>>j>>c; map[i-1][j-1]=c; //输入顶点最小是从1开始的,而计算写的是从顶点0开始,所以下标要减一,map也可以从1开始存储数据。 map[j-1][i-1]=c; //无向图 } int ans=dijkstra(0,n); cout<<ans<<endl; Display(0, n-1); } return 0; }
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