经典递推问题错排公式分析
2014-10-06 19:23
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问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?
这个问题推广一下,就是错排问题,是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究,因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本,如在写信时将n封信装到n个不同的信封里,有多少种全部装错信封的情况?又比如四人各写一张贺年卡互相赠送,有多少种赠送方法?自己写的贺年卡不能送给自己,所以也是典型的错排问题。
以信封问题为例:
1、当N=1和2时,易得解~,假设F(N-1)和F(N-2)已经得到,重点分析下面的情况:
2、当有N封信的时候,前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装。
[b]3、前者,对于每种错装,可从N-1封信中任意取一封和第N封错装,故=F(N-1)*(N-1)[/b]
4、后者简单,只能是没装错的那封和第N封交换信封,没装错的那封可以是前面N-1封中的任意一个,故=F(N-2)
* (N-1)。
递归式:d
= (n-1)*( d[n-1]+ d[n-2]),
特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.
这个问题推广一下,就是错排问题,是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究,因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本,如在写信时将n封信装到n个不同的信封里,有多少种全部装错信封的情况?又比如四人各写一张贺年卡互相赠送,有多少种赠送方法?自己写的贺年卡不能送给自己,所以也是典型的错排问题。
以信封问题为例:
1、当N=1和2时,易得解~,假设F(N-1)和F(N-2)已经得到,重点分析下面的情况:
2、当有N封信的时候,前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装。
[b]3、前者,对于每种错装,可从N-1封信中任意取一封和第N封错装,故=F(N-1)*(N-1)[/b]
4、后者简单,只能是没装错的那封和第N封交换信封,没装错的那封可以是前面N-1封中的任意一个,故=F(N-2)
* (N-1)。
递归式:d
= (n-1)*( d[n-1]+ d[n-2]),
特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.
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