图解25匹马的选马问题

题目一：对于25匹马，有一个赛场，赛场有5个跑道，不使用计时器（也就是每次比赛只得到本次的比赛的顺序），试问最少比多少场才能选出最快的三匹马？

思路：

0)前5场：这个题相对比较简单，25匹马至少要全部参加比赛，所以把25匹马分成5组进行比赛。这样我们就可以得到比赛结果如下：

1)选整体第1名：现在我们要选整体第一名，可能成为整体第1名的马匹为：｛A1、B2、B3、B4、B5｝，那么第6场比赛为［A1，B1，C1，D1，E1］

比赛结果：第6场得到整体第1名



2)选整体第2、3名：根据矩阵关系，可知可能成为整体第2名的马匹为：｛A2、B1｝，可能成为整体第3名的马匹为｛A2、A3、B1、B2、C1｝，所以第7场比赛为［A2，B1，A3，B2、C1］

比赛结果：第7场得到整体第2、3名



可能你对上面红色字体不是特别理解，换种思路来说：

整体前1名可能出现范围：A1
整体前2名可能出现范围：A2、B1
整体前4名可能出现范围：A1、A2、B1
整体前7名可能出现范围：A1、A2、A3、B1、B2、C1
... ...

自己画一下就可以知道里面的规律



题目二：对于25匹马，有一个赛场，赛场有5个跑道，不使用计时器（也就是每次比赛只得到本次的比赛的顺序），试问最少比多少场才能选出最快的五匹马？（第一题是选前三名）

思路一：（简单的，竞标赛排序）

所谓简单，一般都有些蛮力的味道。所有优化，一般都会借助上一次的结果优化下一次的操作。

简单的思路关键词是：替换思想（用已选出的赛马替换掉选出的马）

0)和题目一思路一样，我们需要5场比赛来得到25匹马的基本顺序。



1)开始选马

第6场：选整体第1名-->参赛马为［A1，B1，C1，D1，E1］-->假设选出的整体第1名为A1
第7场：第选整体第2名-->参加在为［A2，B1，C1，D1，E1］-->假设选出的整体第1名为B1
第8场：选整体第3名-->参加在为［A2，B2，C1，D1，E1］-->假设选出的整体第1名为A2
第9场：选整体第4名-->参加在为［A3，B2，C1，D1，E1］-->假设选出的整体第1名为C1
第10场：选整体第5名-->参加在为［A3，B2，C2，D1，E1］-->假设选出的整体第1名为C2
.....
第25场：选整体第20、21、22、23、24、25

所以使用竞标赛排序思想（替换策略），选出前5名需要10场比赛

思路二：

再重复一句：所谓简单，一般都有些蛮力的味道。所有优化，一般都会借助上一次的结果优化下一次的操作。

那么优化后的选马方案为：

0)前5场仍然是比赛得到5组马匹的基本序列



1)第6场：参赛马为［A1，B1，C1，D1，E1］（比赛后假设A1>B1>C1>D1>E1）

比赛结果：第6场得到整体第1名A1



2)第7场：我们继续分析可能为整体第2名的马为{A2、B1}，可能为整体第3名的马为{A2、A3、B1、B2、C1}。此时我们可以知道其实只需要比较［A2，A3，B1，B2，C1］就可以得到第2、3名了（回想一下刚才使用简单替换思想，第6场比赛［A2，B1，C1，D1，E1］，其中D1、E1根本不可能是整体第2名的）

比赛结果：第7场得到整体第2、3名



3)问题来了，第7场得到2、3名，但是不能确定是哪两匹马。所以我门要列举一下第2、3名可能的情况（一共5种）：
A2，A3
A2，B1
B1，A2
B1，B2
B1，B3

3.1) 对于第一种情况：A2，A3
那么整体第4名可能为：｛A4、B1｝
如果第4名为A4，整体第5名可能为｛A5、B1｝
如果第4名为B1，整体第5名可能为｛B2、C1｝

很明显，我们只需要一场比赛（第8场）就可以确定整体第3，4名，参赛马为：［A4，B1，A5，B2，C1］



3.2)对于第二种情况：A2、B1
那么整体第4名可能为A3、B2、C1
如果整体第4名为A3，整体第5名可能为｛A4、B2、C1｝
如果整体第4名为B2，整体第5名可能为｛A3、B3、C1｝
如果整体第4名为C1，整体第5名可能为｛A3、B2、C2、D1｝

那么我们要向得到整体第4、5名的马匹，就需要比较［A3，A4，B2，B3，C1，C2，D1］，很明显需要2场比赛（第8、9场）才能分出胜负



剩下的3种情况类似，选出前5匹马，至少8场，最多9场