《编程导论(Java) ·10.3递归思维》

《编程导论(Java) ·10.3递归思维》

10.3.1 递归的概念

人分两种：男人和女人；算法分两种：递归的和迭代/循环的；

递归是指用自己的较简单的情形定义自己。

在数学和计算机科学中，递归是一种思路和策略，可以用于术语的定义(什么是表达式)，问题的描述和问题求解。用于问题求解的递归称为递归法。

有一个故事。物理学家计算10！时会说，“看，它等于1*2*～*10，即3628800”；数学家则说：“哦，10的阶乘，它等于10乘以9！”。

递归算法“轻率地”认为自己的较简单的情形是已知的。既然fact(n-1)是已知的，因而fact(n) 可求。这样“轻率”对理解递归概念至关重要。递归法不直接解决问题，而是将问题变成一个趋向递归出口的问题。使用递归方法需要存在一个基准情形，以避免无限循环(狗追自己的尾巴)。

package algorithm.recursion;
public class RecursionDemo{    
    /**
     * 递归求Fibonacci级数的第n个元素，n基于1的自然数。
     */
    public static int fibonacc(int n){
        if(n<=1) return n;
        else return fibonacc(n-1)+fibonacc(n-2);
    }
    
    /**
     * 迭代求Fibonacci级数的第n个元素，n基于1的自然数。
     */
    public static int fibonacc1(int n){
        int first , second ,result ;
        first =second=result= 1;
        for(int i=3;i<=n ;i++){
            result = first + second;
            first = second;
            second =result;
        }
        return result;
    }    
}

大多数情况下，迭代法和递归法能够相互转化。

使用递归法有2条实践准则：

1、设计优先。在任何情况下都可以采用递归法，简洁而清晰的程序设计优先。某些问题，例如那些需要后退的问题(如找出迷宫的出路、对树的一些操作)，如果不采用递归则很难解决。

2、效率平衡。如果递归调用中出现重复性工作，改用循环。对于一般的数值计算，递归法通常不合适。

Java递归方法是通过方法调用栈实现的。在BlueJ中设置断点运行factorial (5)，将显示方法调用情况。它仅仅“轻率地认为”factorial (4)已知，依此类推。到factorial (5)，目前没有进行任一乘法计算。方法调用栈中有6个栈帧，顶层将计算factorial (0)。递归的方法的两个阶段是递推和回归。

例如使用递归式sum(n) =n + sum(n-1)，yqj2065看见过一个趣题。

static long sum1(long a) {
        return (a == 1)? 1:(a + sum1(a - 1));
    }
    static long sum2(long a) {
        return (a == 1)? 1:(sum2(a - 1) + a);
    }

两者有区别吗？【注：在Java7时sum1(6000)StackOverflowError，Java8到大约13000才溢出。原因不明。】

10.3.2 汉诺塔

汉诺塔问题(Hanoi Tower problem)：有三根杆子A、B、C，A杆上串有上小下大若干碟子。每次移动一块碟子，在确保小碟子只能叠在大碟子上面的条件下，利用B过渡，请把所有碟子从A杆移到C杆上。

对于具有递归思维的人，再多的碟子，也不过是两部分：上面的n-1个碟子被看成粘在一起的小碟子，而下面是一个大碟子。汉诺塔问题的递归算法：

结束条件： A杆上只有一个碟子，将它移到C。

递归式：

1、将上面的n-1个碟子从出发地A移到中转站B；

2、将第n个碟子移到目的地C；

3、将n-1个碟子从中转站B移到目的地C。

package algorithm.recursion;
public class HanoiTower{
    private static int step= 0;   
    /**汉诺塔的递归演示。
     * @param from  碟子的出发地
     * @param temp  碟子的中转站
     * @param to   碟子的到达地
     * @param n  要移动的碟子个数
     */
    static void  hanoi(char from, char temp, char to, int n){ 
        if (n == 1) {
           step++;
           System.out.println("第"+step+ "步: "+ from+"→"+ to);
        }else {
            //将n-1个碟子移到中转站，故目前的到达地是temp。
            hanoi(from, to,temp,n-1);
            //第n个碟子移到到达地
            step++;
            System.out.println("第"+step+ "步: "+ from+"→"+ to);
            //将n-1个碟子移到到达地。
            hanoi(temp,from,to,n-1);
        }
    }
}

hanoi(‘A’, ‘B’, ‘C’, 3)的输出：

第1步: A→C

第2步: A→B

第3步: C→B

第4步: A→C

第5步: B→A

第6步: B→C

第7步: A→C

汉诺塔问题的迭代算法比较复杂，代码库中有参考实现。

练习：

1.Given a non-negative int n, return the sum of its digits recursively (no loops). Note that mod (%) by 10 yields the rightmost digit (126 % 10 is 6), while divide (/) by 10 removes the rightmost digit (126 / 10 is 12).

sumDigits(126) → 9

sumDigits(49) → 13

sumDigits(12) → 3

类似的： 递归求一个非负int包含的5的个数。

2.小朋友排排坐，单号伸出2手指，双号伸出3手指，递归求n个小朋友时手指的总数。

sum(0) → 0

sum(1) → 2

sum(2) → 5