bzoj 2705: [SDOI2012]Longge的问题 歐拉函數

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

[align=left]Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。[/align]

Input

[align=left]一个整数，为N。[/align]

Output

[align=left]一个整数，为所求的答案。[/align]

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

　　枚舉n的因數k，算出gcd(i,n)==k,即gcd(i/k,n/k)==1，的數個數，即phi（n/k）。

　　這道題讓我意識到我思考問題的角度還是不夠廣，總是憑着第一感覺想下去，完全無法做到思路的變通。
　　以這道題爲例，我一看題，就認定這是莫比烏斯反演的題目，根本沒有思考其他的方式。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
#ifdef WIN32
#define LL "%I64d"
#else
#define LL "%lld"
#endif
#define MAXN 1100000
#define MAXV MAXN*2
#define MAXE MAXV*2
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
typedef long long qword;
inline int nextInt()
{
char ch;
int x=0;
bool flag=false;
do
ch=getchar(),flag=(ch=='-')?true:flag;
while(ch<'0'||ch>'9');
do x=x*10+ch-'0';
while (ch=getchar(),ch<='9' && ch>='0');
return x*(flag?-1:1);
}

qword n,m;
qword prime[MAXN],topp=-1;
bool pflag[MAXN];
int gcd(int x,int y)
{
return (x%y==0) ? y : gcd(y,x%y);
}
void init()
{
int i,j;
for (i=2;i<MAXN;i++)
{
if (!pflag[i])
{
prime[++topp]=i;
}
for (j=0;j<=topp && i*prime[j]<MAXN;j++)
{
pflag[i*prime[j]]=true;
if (i%prime[j]==0)
{
break;
}
}
}
}
qword phi(qword x)
{
int i;
qword ret=1;
for (i=0;i<=topp && prime[i]*prime[i]<=x;i++)
{
if(x%prime[i]==0)
{
ret*=prime[i]-1;
x/=prime[i];
while (x%prime[i]==0)
{
ret*=prime[i];
x/=prime[i];
}
}
}
if (x>1)
{
ret*=x-1;
}
return ret;
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
//freopen("output.txt","w",stdout);
qword i;
scanf("%d",&n);
qword ans1=0,ans2=0;
//    for (i=1;i<=n;i++)
//            ans1+=gcd(i,n);
//    printf("%d\n",ans1);
init();
qword l=ceil(sqrt(n));
for (i=1;i*i<n;i++)
{
if (n%i==0)
{
ans2+=(qword)i*phi(n/i);
ans2+=(qword)(n/i)*phi(i);
}
}
if (l*l==n)
{
ans2+=(qword)(n/l)*phi(l);
}
printf(LL"\n",ans2);
return 0;
}