NYOJ 120 校园网络（强连通分量缩点）

校园网络

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难度：5

描述

南阳理工学院共有M个系，分别编号1~M,其中各个系之间达成有一定的协议，如果某系有新软件可用时，该系将允许一些其它的系复制并使用该软件。但该允许关系是单向的，即：A系允许B系使用A的软件时，B未必一定允许A使用B的软件。

现在，请你写一个程序，根据各个系之间达成的协议情况，计算出最少需要添加多少个两系之间的这种允许关系，才能使任何一个系有软件使用的时候，其它所有系也都有软件可用。

输入第一行输入一个整数T，表示测试数据的组数(T<10)

每组测试数据的第一行是一个整数M，表示共有M个系(2<=M<=100)。

随后的M行，每行都有一些整数，其中的第i行表示系i允许这几个系复制并使用系i的软件。每行结尾都是一个0，表示本行输入结束。如果某个系不允许其它任何系使用该系软件，则本行只有一个0.

输出对于每组测试数据，输出最少需要添加的这种允许关系的个数。
样例输入

1
5
2 4 3 0
4 5 0
0
0
1 0

样例输出

2

来源POJ改编tarjan算法介绍（求有向图的强连通分量的）

在有向图G中，如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly
connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly
connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

Tarjan算法是用来求有向图的强连通分量的。求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert
Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。





返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。





返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。





继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。





至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

其实这道题说的是强连通缩点就是把只有各个连通图的根节点留下，其他去掉，让几个根节点连通来求解

// 强连通分量缩点

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<stack> 

#include<cstring>

using namespace std;

int map[105][105];

int DNF[105],low[105],IN[105],OUT[105],t[105],instack[105];

int min(int a,int b){return a > b ? b : a;} 

int V,res,order; 

stack<int> S; 

int tarjan(int u)

{

   int v; 

   DNF[u] = low[u] = ++order;

   instack[u]=1;

   S.push(u);

   for(int i = 1; i <= V; i++){

       if(map[u][i]){

           if(!DNF[i]){

               tarjan(i);                            

               low[u]=min(low[u],low[i]); 

           }      

           else if(instack[i])low[u]=min(low[u],DNF[i]);   

        }   

   }    

   if(DNF[u]==low[u]){

        ++res;             // res 代表强连通分量的个数

        do{

           v = S.top();

           S.pop();  

           instack[v]=0;

           t[v]=res;     

        }while(v != u);                     

   }    

} 

int main()

{ 

     int test;   

     scanf("%d",&test);

     while(test--){                               

          int x; 

          memset(map, 0, sizeof(map));        //用矩阵存放数据          

          memset(DNF, 0, sizeof(DNF));        // 节点搜索的次序编号   

          memset(low, 0, sizeof(low));         //记录强连通分量的根节点 

          memset(IN, 0, sizeof(IN));           //统计入度           

          memset(OUT, 0, sizeof(OUT));         //统计出度             

          memset(t, 0, sizeof(t));                         

          memset(instack, 0, sizeof(instack));   //判断节点是否在栈中

          while(!S.empty())

                S.pop();

          res=0;

          order=0; 

          scanf("%d",&V);

          for(int i = 1; i <= V; i++){

              while(~scanf("%d",&x)&&x) 

                    map[i][x] =  1;               

          }              

          for(int i = 1;i <= V;i++){

                 if(!DNF[i])tarjan(i);        

          }           

        //使原有的图经过强连通分量缩点变成只有res个强连通分量的节点的图

          for(int i = 1; i <= V; i++){

              for(int j = 1; j <= V; j++){

                  if(map[i][j]){       // 统计每个强连通分量缩点的入度和出度

                       ++IN[t[i]];              

                       ++OUT[t[j]]; 

                  }        

              }               

          }      

          int m=0,n=0;

          for(int i = 1; i <= res; i++){

                if(IN[i]==0)m++;

                else if(OUT[i]==0)n++;        

          }      

          int count = m > n? m : n;  // 结果为缩点后的有向图中出度为0或者入度为0中的大者

          

          if(res==1)printf("0\n"); 

          else printf("%d\n",count); 

     }  

     return 0;   

}