用位运算实现四则运算之加减乘除（用位运算求一个数的1/3）

听同学百度二面中，不准用四则运算操作符来实现四则运算。一想就想到了计算机组成原理上学过的。位运算的思想可以应用到很多地方，这里简单的总结一下用位运算来实现整数的四则运算。

加法运算：

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int AddWithoutArithmetic(int num1,int num2)

{

if(num2==0) return num1;//没有进位的时候完成运算

int sum,carry;

sum=num1^num2;//完成第一步没有进位的加法运算

carry=(num1&num2)<<1;//完成第二步进位并且左移运算

return AddWithoutArithmetic(sum,carry);//进行递归，相加

}

简化一下：

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int Add(int a,int b)

{

return b ? Add(a^b,(a&b)<<1) : a;

/*if(b)

return Add(a^b,(a&b)<<1);

else

return a;*/

}

上面的思路就是先不计进位相加，然后再与进位相加，随着递归，进位会变为0，递归结束。

非递归的版本如下：

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int Add(int a, int b)

{

int ans;

while(b)

{ //直到没有进位

ans = a^b; //不带进位加法

b = ((a&b)<<1); //进位

a = ans;

}

return a;

}

减法运算：

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//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。

int negtive(int a) //取补码

{

return Add(~a, 1);

}

int Sub(int a, int b)

{

return Add(a, negtive(b));

}

正数乘法运算：

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//正数乘法运算

int Pos_Multiply(int a,int b)

{

int ans = 0;

while(b)

{

if(b&1)

ans = Add(ans, a);

a = (a<<1);

b = (b>>1);

}

return ans;

}

整数除法（正整数）

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//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。

int Pos_Div(int x,int y)

{

int ans=0;

for(int i=31;i>=0;i--)

{

//比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出

if((x>>i)>=y)

{

ans+=(1<<i);

x-=(y<<i);

}

}

return ans;

}

完整的实现：

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// 加减乘除位运算

// 程序中实现了比较大小、加减乘除运算。所有运算都用位操作实现

// 在实现除法运算时，用了从高位到低位的减法

// 具体如下，算法也比较简单，所以没有作注释

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

int Add(int a, int b)

{

int ans;

while(b)

{ //直到没有进位

ans = a^b; //不带进位加法

b = ((a&b)<<1); //进位

a = ans;

}

return a;

}

//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。

int negtive(int a) //取补码

{

return Add(~a, 1);

}

int Sub(int a, int b)

{

return Add(a, negtive(b));

}

// 判断正负

int ispos( int a )

{ //正

return (a&0xFFFF) && !(a&0x8000);

}

int isneg( int a )

{ //负

return a&0x8000;

}

int iszero( int a )

{ //0

return !(a&0xFFFF);

}

//正数乘法运算

int Pos_Multiply(int a,int b)

{

int ans = 0;

while(b)

{

if(b&1)

ans = Add(ans, a);

a = (a<<1);

b = (b>>1);

}

return ans;

}

//乘法运算

int Multiply(int a,int b)

{

if( iszero(a) || iszero(b) )

return 0;

if( ispos(a) && ispos(b) )

return Pos_Multiply(a, b);

if( isneg(a) )

{

if( isneg(b) )

{

return Pos_Multiply( negtive(a), negtive(b) );

}

return negtive( Pos_Multiply( negtive(a), b ) );

}

return negtive( Pos_Multiply(a, negtive(b)) );

}

//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。

int Pos_Div(int x,int y)

{

int ans=0;

for(int i=31;i>=0;i--)

{

//比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出

if((x>>i)>=y)

{

ans+=(1<<i);

x-=(y<<i);

}

}

return ans;

}

//除法运算

int MyDiv( int a, int b )

{

if( iszero(b) )

{

cout << "Error" << endl;

exit(1);

}

if( iszero(a) )

return 0;

if( ispos(a) )

{

if( ispos(b) )

return Pos_Div(a, b);

return negtive( Pos_Div( a, negtive(b)) );

}

if( ispos(b) )

return negtive( Pos_Div( negtive(a), b ) );

return Pos_Div( negtive(a), negtive(b) );

}

// 比较两个正数的大小（非负也可）

int isbig_pos( int a, int b )

{ //a>b>0

int c = 1;

b = (a^b);

if( iszero(b) )

return 0;

while( b >>= 1 )

{

c <<= 1;

}

return (c&a);

}

// 比较两个数的大小

int isbig( int a, int b )

{ //a>b

if( isneg(a) )

{

if( isneg(b) )

{

return isbig_pos( negtive(b), negtive(a) );

}

return 0;

}

if( isneg(b) )

return 1;

return isbig_pos(a, b);

}

扩展：在不使用*、/、+、-、%操作符的情况下，如何求一个数的1/3？（用C语言实现）

使用位操作符并实现“+”操作

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// 替换加法运算符

int add(int x , int y)

{

int res;

while(y) // 直到没有进位

{

res = x^y; // 不带进位的加法

y = ((x&y)<<1); // 进位

x = res;

}

return x;

}

int divideby3(int num)

{

int sum = 0;

while(num > 3)

{

sum = add(num>>2 , sum);

num = add(num>>2 , num&3);

}

if(num == 3)

sum = add(sum , 1);

return sum;

}

原理：n = 4 * a + b; n / 3 = a + (a + b) / 3; 然后 sum += a, n = a + b 并迭代; 当 a == 0 (n < 4)时，sum += floor(n / 3); i.e. 1, if n == 3, else 0