背包问题（动态优化）

背包问题主要场景为：有n个物品，每个物品有自身的价值与重量。有一个背包，最大承受重量为w，求背包最大能够获得的价值是多少。很显然获得最大价值有多种方案，即有多重不同的组合，使得背包中的物品价值最大。最直接的方法，是将n个物品做不同的组合，分别求出他们的价值，最后排序找出最大值。但此方法工作量大，且编程不易实现。

从极限的角度出发，若n值为最小值1时，非常好计算，只需比较物品重量与w的大小，若小于w，则物品不能放入包中，最大价值为0。若大于w，则物品能放入包中，最大价值为物品价值。若n取2时，第二个物品只能取放入与不放入两种状态。若不放入，则背包的价值为n取1时的值V1。若放入，则背包的价值为物品二的价值加上背包剩余容量所承受的最大价值，即

，因此当n取2时的最大值，应为

，因此n为2时的最大价值，转化为n求

的值，可以采用同样的分析方法获得，此问题也转化为重量更小的同类问题。因此我们可以列出一个矩阵，横坐标为背包容量，纵坐标为物品数量，矩阵中的点为背包所能达到的最大价值。矩阵中每个点的计算公式为：

。

例如有5件物品[4,5,6,2,3]，他们的价值为[2,4,5,7,8]，背包的容量为7。则有如下矩阵：



















核心代为如下所示：

public static  List<List<Integer>> getMax(ArrayList<Item> items ,int capcity){

int n = items.size();
List<List<Integer>> list = new ArrayList<List<Integer>>();
for(int i = 0 ; i <= n ; i ++){

List<Integer> values = new ArrayList<Integer>();
for(int j = 0 ; j <= capcity ; j ++ ){

if(i == 0 ){
values.add(0);   //当物品为0个时，不管背包的容量多大，总价值都为0
}
else if(i == 1){     //当物品为1个时，背包的价值要不为0 ，要不为物品价值

Item it = items.get(i -1);
if(it.getWeight() > j){
values.add(0);
}else{
values.add(it.getValue());
}
}
else{

Item it = items.get(i-1);
if(it.getWeight() >j){ 						//当物品的重量大于背包容量时，物品不能放入背包中
values.add(list.get(i-1).get(j));
}else{
int maxValue = it.getValue() + list.get(i-1).get(j - it.getWeight());
values.add(maxValue > list.get(i - 1).get(j) ? maxValue : list.get(i-1).get(j));//当物品可放入背包中时，最大容量为不加该物品时的价值与加该物品价值中最大的一个
}
}

}
list.add(values);
}

return list;
}