用最大似然估计求逻辑回归参数

一.最大似然估计

选择一个(一组)参数使得实验结果具有最大概率。

A. 如果分布是离散型的，其分布律

,

是待估计的参数，这里我们假设

为已知量，则：设X1,
X2, ... , Xn 是来自于X的样本,X1,X2,...Xn的联合分布律为：


（1）

设x1,x2,...xn是X1,X2,..Xn的一个样本值，则可知X1,..Xn取x1,..,x2的概率，即事件{X1 = x1,...,Xn=xn}发生的概率为：


（2）

这里，因为样本值是已知的，所以(2)是

的函数，

称为样本的似然函数。

最大似然估计：已知样本值x1,...xn,选取一组参数

,使概率

达到最大值，此时的

为最大估计值。即取

使得：




与x1,...,xn有关，记为

并称其为参数

的极大似然估计值。

B.如果分布X是连续型，其概率密度

的形式已知，

为待估计参数，则事件X1,...Xn的联合密度为：


(3)

设x1,..xn为相应X1,...Xn的一个样本值，则随机点(X1,...,Xn)落在(x1,..xn)的领域内的概率近似为：


(4)

最大似然估计即为求

值，使得(4)的概率最大。由于


不随

而变，故似然函数为：


(5)

C. 求最大似然估计参数的步骤：

(1) 写出似然函数：


(6)

这里，n为样本数量，似然函数表示n个样本(事件)同时发生的概率。

(2) 对似然函数取对数：



(3) 将对数似然函数对各参数求偏导数并令其为0，得到对数似然方程组。

(4) 从方程组中解出各个参数。

D. 举例：

设

;

为未知参数，x1,...xn为来自X的一个样本值。求

的极大似然估计值。

解：X的概率密度为：



似然函数为：





令

即：


解得：

带入解得


二.逻辑回归

逻辑回归不是回归，而是分类。是从线性回归中衍生出来的分类策略。当y值为只有两个值时(比如0，1)，线性回归不能很好的拟合时，用逻辑回归来对其进行二值分类。

这里逻辑函数(S型函数)为：


(7)

于是，可得估计函数：


（8）

这里，我们的目的是求出一组

值，使得这组

可以很好的模拟出训练样本的类值。

由于二值分类很像二项分布，我们把单一样本的类值假设为发生概率，则：


（9）

可以写成概率一般式：


(10)

由最大似然估计原理，我们可以通过m个训练样本值，来估计出

值，使得似然函数值最大：


（11）

这里，

为m个训练样本同时发生的概率。对

求log，得：


（12）

我们用随机梯度上升法，求使

最大化时的

值，迭代函数为：


（13）

这里

对每个

分量进行求导，得：


（14）

于是，随机梯度上升法迭代算法为：

repeat until convergence{

for i = 1 to m{


(15)

}

}

思考：

我们求最大似然函数参数的立足点是步骤C，即求出每个参数方向上的偏导数，并让偏导数为0，最后求解此方程组。由于

中参数数量的不确定，考虑到可能参数数量很大，此时直接求解方程组的解变的很困难。于是，我们用随机梯度上升法，求解方程组的值。

备注：

(a) 公式(14)的化简基于g(z)导函数，如下：


（16）

(b) 下图为逻辑函数g(z)的分布图：