BZOJ2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑

2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑

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Description

　
　大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为1到N的阶乘，但是，政府只发行编号与M!互质的钞票。房地产第一
大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于可能张数非常大，你只需计算出对R取模后的答案即可。
R是一个质数。

Input

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数N，M，见题目描述 m<=n

Output

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

Sample Input

1 11

4 2

Sample Output

1

数据范围：

对于100%的数据，1 < = N , M < = 10000000

HINT

Source

数论

题解:

这种数论题简直不能再orz，做法不能再炫酷。。。

首先 与m!互质的数的个数为 fai[m!]，

又因为gcd（a+b，b）=gcd（a，n）

即比 m！大和它互质的数-m！的若干倍之后一定是 这fai[m!]中的一个，所以这样的数一共有 fai[m!]*(n!/m!) 个。。。

这个式子怎么求呢？

我们可以分成两部分来求 即fai[m!]/m! 和 fac

而根据fai的展开式可以知道 fai[m!]/m!= 连积（p-1/p），满足p是<=m的质数 。。。（蒻蒻不会放图片。。。）

这样我们就可以预处理递推搞了，回答O（1）

oj上内存卡死，受不鸟了于是怒开临时变量存储中间结果。。。结果还是慢成翔啊。。。

代码：

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<vector>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<string>

#define inf 1000000000

#define maxn 10000000+5

#define maxm 500+100

#define eps 1e-10

#define ll long long

#define pa pair<int,int>

#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

using namespace std;

inline ll read()

{

ll x=0,f=1;char ch=getchar();

while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}

return x*f;

}
int n,m,cs,mod,tot,p[maxn],fac[maxn],ans[maxn],inv[maxn];
bool check[maxn];

int main()

{

freopen("input.txt","r",stdin);

freopen("output.txt","w",stdout);

cs=read();mod=read();
fac[0]=1;
for1(i,maxn)
{
ll k=fac[i-1];k*=i;k%=mod;
fac[i]=k;
}
for2(i,2,maxn)
{
if(!check[i])p[++tot]=i;
for1(j,tot)
{
ll k=i*p[j];
if(k>maxn)break;
check[k]=1;
if(i%p[j]==0)break;
}
}
inv[0]=inv[1]=1;
for2(i,2,maxn)
{
ll k=inv[i-mod%i];k*=(mod/i+1);k%=mod;
inv[i]=k;
}
ans[1]=1;
for2(i,2,maxn)
if(!check[i])
{
ll k=ans[i-1];k*=i-1;k%=mod;k*=inv[i%mod];k%=mod;
ans[i]=k;
}
else ans[i]=ans[i-1];
//for(ll i=1;i<=1000000;i++)cout<<i<<' '<<inv[i]<<' '<<ans[i]<<endl;
while(cs--)
{
n=read(),m=read();ll k=fac
;k*=ans[m];k%=mod;
printf("%lld\n",k);
}

return 0;

}

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这是一道综合而又漂亮的好题！