不知道；不知道；我知道了；那我也…

本文转自：/article/6001798.html


已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。

甲问乙："你知道是哪两个数吗？"乙说："不知道"；
乙问甲："你知道是哪两个数吗？"甲说："也不知道"；
于是，乙说："那我知道了"；
随后甲也说："那我也知道了"；
请问这两个数是什么？

解：
设这两个数为x,y. 甲知道两数之和 A=x+y; 乙知道两数之积
B=x*y;

该题分两种情况
l 允许重复, 有(1 <= x <= y
<= 30);
l 不允许重复,有(1 <= x < y
<= 30);

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当不允许重复, 即(1 <= x < y <= 30);
A∈[3,59]; B∈[2,870];

1)首先甲问乙，乙Say
NO
=>
B=x*y 解不唯一
=>
B=x*y 为合数（除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数）

又∵ x ≠
y
∴ B ≠
k*k (其中k∈N) ，B为非平方数

于是得到结论(推论1)：
B=x*y
是合数且 B 非平方数
即：B
∈{6,8,10,12,14,15,18,20...}

注意，这个推论，我这个局外人和甲都能推导出来。就是说此时，我和甲都知道两数之积的大概范围。

2)然后乙问甲，甲Say
NO
=>
A=x+y 解不唯一
=>
A ∈[5,57];

上面已经提到，甲已经知道推论1。而且甲也知道两数之和，但是他依旧Say
NO，这是怎么回事？我们来揣测一下。由于我们不知道两数之和是多少，所以先从假设开始。

假设
A=x+y=5
则有双解
x1=1,y1=4;
x2=2,y2=3;
代入公式B=x*y:
B1=x1*y1=1*4=4; (不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*3=6;
得到唯一解x=2,y=3 即甲知道答案，这与甲Say NO相矛盾
故假设不成立， A=x+y≠5

假设
A=x+y=6
则有双解
x1=1,y1=5;
x2=2,y2=4;
代入公式B=x*y:
B1=x1*y1=1*5=5; (不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*4=8;
得到唯一解x=2,y=4即甲知道答案，这与甲Say NO相矛盾
故假设不成立， A=x+y≠6

当A∈[7,57]时
至少存在两组解满足推论1，即
A为奇数时，
x1=(A-1)/2,y1=(A+1)/2;
x2=(A-3)/2,y2=(A+3)/2;
代入公式B=x*y:
B1=x1*y1=(A-1)/2 * (A+1)/2 （满足推论1）
B2=x2*y2=(A-3)/2 * (A+3)/2 （满足推论1）
A为偶数时，
x1=(A-2)/2,y1=(A+2)/2;
x2=(A-4)/2,y2=(A+4)/2;
代入公式B=x*y:
B1=x1*y1=(A-2)/2 * (A+2)/2 （满足推论1）
B2=x2*y2=(A-4)/2 * (A+4)/2 （满足推论1）
存在多解的情况，让甲无法判断，所以Say NO。

于是得到结论(推论2)：
A∈[7,57]

注意，这个推论，我这个局外人和乙都能推导出来。

3)然后乙Say
YES
=>　乙根据已经知道的两数之积B=x*y及推论2可以得出唯一解，即
A=x+y,
A∈[7,57]
B=x*y,
B∈{6,8,10,12,14,15,16,18,20...}
1
<= x < y <= 30
x,y存在唯一解

乙是怎么办到的？我们来揣测一下。由于我们不知道两数之积是多少，所以先从假设开始。

假设B=6
时：有两组解
x1=1,
y1=6
x2=2,
y2=3 (不满足推论2，舍去)
得到唯一解
x=1, y=6，可以Say YES

假设B=8
时：有两组解
x1=1,
y1=8
x2=2,
y2=4 (不满足推论2，舍去)
得到唯一解
x=1, y=8，可以Say YES

当
B>8 时：容易证明均为多重解

于是得到结论(推论3)：
x=1,
y=6 或者 x=1, y=8

注意，这个推论，我这个局外人和甲都能推导出来。

这里有个疑问，推论3不是两个答案吗，乙怎么能Say
YES呢？设身处地为乙想想吧，乙是知道两数之积B是多少的。说的再明白些，如果乙知道的两数之积是6，那么他当然可以判定x=1,y=6了。同理，如果乙知道的两数之积是8，那么他当然可以判定x=1,y=8了。此时，我和甲不知道两数之积，所以只能得到推论3.

4)最后甲Say
YES
=>　甲根据已经知道的两数之和A=x+y及推论3可以得出唯一解

说的再明白些，如果乙知道的两数之和是7，那么他可以判定x=1,y=6了。如果甲知道的两数之和是9，那么他可以判定x=1,y=8了。

综上所述，原题所求有两组解：
x1=1,
y1=6
x2=1,
y2=8
不信的话，你可以从头开始验证两组解，你会发现甲和乙的回答，是那么“顺其自然”。

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当x<=y时，有(1 <= x <= y <=
30);
同理可得唯一解 x=1, y=4

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允许两数重复的情况下
答案为x=1,
y=4; 甲知道和A=x+y=5, 乙知道积B=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
答案1: 为x=1,
y=6; 甲知道和A=x+y=7, 乙知道积B=x*y=6
答案2: 为x=1,
y=8; 甲知道和A=x+y=9, 乙知道积B=x*y=8

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换汤不换药
把上面的题目改下，改成乙先问甲，甲Say
NO，然后甲问乙，乙Say NO，然后甲Say
YES，最后乙Say
YES。请问这两个数是什么？
解题思路类似，答案是：
允许两数重复的情况下
答案为x=2,
y=2; 甲知道和A=x+y=2, 乙知道积B=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
答案1: 为x=2,
y=3; 甲知道和A=x+y=5, 乙知道积B=x*y=6
答案2: 为x=2,
y=4; 甲知道和A=x+y=6, 乙知道积B=x*y=8