要求一个数组连续下标和的最大值，数组的元素可正、可负、可为零

题目：要求一个数组连续下标和的最大值，数组的元素可正、可负、可为零，例如-2，5，3，-6，4，-8，6将返回8。

这题是很经典的一道面试题，也有各种解法，从算法分析上，时间复杂度也有很大差别，下面我就给出三种不同的解法。



方法一：暴力枚举法

此种方法最简单，我想应该也是每个人拿到题目想到的第一种解法了，学过一点编程的人都应该能编出此类程序。

记sum[i..j]为数组中第i个元素到第j个元素的和（其中0<=i<j<=n-1），通过遍历所有的组合之和，就能找到最大的一个和了。

伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int n) {

int maxium = -INF; //保存最大子数组之和

for i=0 to n-1 do

sum = 0; //sum记录第i到j的元素之和

for j=i to n-1 do

sum += A[j];

if sum>maxium do //更新最大值

maxium = sum;

return maxium;

}

此种方法的时间复杂度为O(n2)，显然不是一种很好的办法，也不是公司面试希望你写出这样的程序的。

方法二：分支界定

这里再介绍一种更高效的算法，时间复杂度为O(nlogn)。这是个分治的思想，解决复杂问题我们经常使用的一种思维方法——分而治之。

而对于此题，我们把数组A[1..n]分成两个相等大小的块：A[1..n/2]和A[n/2+1..n]，最大的子数组只可能出现在三种情况：

A[1..n]的最大子数组和A[1..n/2]最大子数组相同；

A[1..n]的最大子数组和A[n/2+1..n]最大子数组相同；

A[1..n]的最大子数组跨过A[1..n/2]和A[n/2+1..n]

前两种情况的求法和整体的求法是一样的，因此递归求得。

第三种，我们可以采取的方法也比较简单，沿着第n/2向左搜索，直到左边界，找到最大的和maxleft，以及沿着第n/2+1向右搜索找到最大和maxright，那么总的最大和就是maxleft+maxright。

而数组A的最大子数组和就是这三种情况中最大的一个。

伪代码如下：

int maxSubArray(int *A,int l,int r) {

if l<r do

mid = (l+r)/2;

ml = maxSubArray(A,l,mid); //分治

mr = maxSubArray(A,mid+1,r);

for i=mid downto l do

search maxleft;

for i=mid+1 to r do

search maxright;

return max(ml,mr,maxleft+maxright); //归并

then //递归出口

return A[l];

}
方法三：动态规划

这算是一个经典的动态规划的题目了，如果不知道动态规划可以先不去理解这个名词。用通俗点的语言描述这个算法就是：

令cursum(i)表示数组下标以i为起点的最大连续下标最大的和，而maxsum(i)表示前i个元素的最大子数组之和。那么我们就可以推出下一个maxsum(i+1)应该为cursum(i+1)和maxsum(i)中选取一个最大值。递推式为：

cursum(i) = max{A[i],cursum(i-1)+A[i]};

maxsum(i) = max{maxsum(i-1),cursum(i+1)};

伪代码为：

int maxSubArray(int *A,int n) {

cursum = A[0];

maxsum = A[0];

for i=1 to n-1 do

/*当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。*/

if cursum<0 do

cursum = 0;

cursum += A[i];

if cursum>maxsum do

maxsum = cursum;

return maxsum;

}

这种算法时间复杂度只是O(n)，效果非常好！

具体实现代码如下：

#include <iostream>

#include <iterator>

#include <algorithm>

#include <cstdlib>

#include <ctime>

using namespace std;

const int INF=0x7fffffff;

int max_sub_array(int arr[],int n,int &left,int &right)

{

int maxium=-INF;

int sum;

for(int i=0;i<n;i++){

sum=0;

for(int j=i;j<n;j++){

sum+=arr[j];

if(sum>maxium){

maxium=sum;

left=i;

right=j;

}

}

}

return maxium;

}

int max_sub_array(int arr[],int l,int r,int &left,int &right)

{

if(l<r){

int mid=(l+r)/2;

int ll,lr;

int suml=max_sub_array(arr,l,mid,ll,lr);

int rl,rr;

int sumr=max_sub_array(arr,mid+1,r,rl,rr);

int sum_both=0;

int max_left=-INF;

int ml,mr;

for(int i=mid;i>=l;i--)

{

sum_both+=arr[i];

if(sum_both>max_left){

max_left=sum_both;

ml=i;

}

}

int max_right=-INF;

sum_both=0;

for(int i=mid+1;i<=r;i++)

{

sum_both+=arr[i];

if(sum_both>max_right){

max_right=sum_both;

mr=i;

}

}

sum_both=max_left+max_right;

if(suml<sumr) {

if(sumr<sum_both) {

left=ml;

right=mr;

return sum_both;

}

else {

left=rl;

right=rr;

return sumr;

}

}

else{

if(suml<sum_both) {

left=ml;

right=mr;

return sum_both;

}

else {

left=ll;

right=lr;

return suml;

}

}

}

else {

left=l;

right=r;

return arr[l];

}

}

int max_sub_array_(int arr[],int n,int& left,int&right)

{

int cursum=arr[0];

int maxsum=arr[0];

int pos=0;

pos=0;

for(int i=1;i<n;i++) {

// if(cursum<0)

// cursum=0;

cursum+=arr[i];

if(cursum<arr[i])

{

pos=i;

cursum=arr[i];

}

if(cursum>maxsum)

{

maxsum=cursum;

left=pos;

right=i;

}

}

return maxsum;

}

void test1()

{

int arr[]={-2,5,3,-6,4,-8,6};

int len=sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);

int left,right;

int sum;

cout<<"arr:";

copy(arr,arr+len,ostream_iterator<int>(cout, " "));

cout<<endl;

sum=max_sub_array(arr,len,left,right);

cout<<"method1:("<<left<<","<<right<<") ";

cout<<"sum="<<sum<<endl;

sum=max_sub_array(arr,0,len-1,left,right);

cout<<"method2:("<<left<<","<<right<<") ";

cout<<"sum="<<sum<<endl;

sum=max_sub_array(arr,len,left,right);

cout<<"method3:("<<left<<","<<right<<") ";

cout<<"sum="<<sum<<endl;

}

void test2()

{

const int LEN=10;

int arr[LEN];

int sign[LEN];

srand(time(0));

for(int i=0;i<LEN;i++){

int val=rand()%1000;

if(val%2==0)

sign[i]=1;

else

sign[i]=-1;

}

for(int i=0;i<LEN;i++){

int val=rand()%100;

arr[i]=val*sign[i];

}

int left,right;

int sum;

int len=LEN;

cout<<"arr:";

copy(arr,arr+len,ostream_iterator<int>(cout, " "));

cout<<endl;

sum=max_sub_array(arr,len,left,right);

cout<<"method1:("<<left<<","<<right<<") ";

cout<<"sum="<<sum<<endl;

sum=max_sub_array(arr,0,len-1,left,right);

cout<<"method2:("<<left<<","<<right<<") ";

cout<<"sum="<<sum<<endl;

sum=max_sub_array(arr,len,left,right);

cout<<"method3:("<<left<<","<<right<<") ";

cout<<"sum="<<sum<<endl;

}

int main()

{

test2();

}