Leetcode: Sqrt(x)

Implement int sqrt(int x).

难度：76，用二分查找。要求是知道结果的范围，取定左界和右界，然后每次砍掉不满足条件的一半，知道左界和右界相遇。算法的时间复杂度是O(logx)，空间复杂度是O(1)。

public class Solution {
public int sqrt(int x) {
if (x < 0) {
return -1;
}
if (x == 0) {
return 0;
}
int l = 1;
int r = x/2 + 1;
while (l <= r) {
int m = (l + r)/2;
if (m <= x/m && x/(m+1) < m+1) return m;
else if (m > x/m) {
r = m - 1;
}
else {
l = m + 1;
}
}
return -1;
}
}

其实这道题还是很tricky的，上面这行代码13行这么做，而不写成m*m <= x 其实是有深意的，是为了防止m*m的溢出。但是有人会攻击说m <= x/m && x/(m+1) < m+1是不是 m*m <= x && (m+1)*(m+1) > x的等价有效替换呢？ 这个有待商榷。

而且因为用除来解决overflow的问题，新的问题便被引入，那就是denominator为0的问题。为此，x=0的情况要单独考虑（否则m=0会在被除数位置）。左边界设置为1，右边界设置为x/2+1(向上取整以确保l, r之间包含target，否则比如x=1, l=1, r=0; x=2, l=1, r=1; 这些都漏掉了)

因此下面这个做法还是使用乘法，但是为了防止溢出，使用了Longlong型, 它的返回条件如第8行所示，并没有采取我做的方式即 m*m<= x && (m+1)*(m+1)>x , 它这样做是利用到了左右两个边界相遇之后左边界会停在比target大的整数处，而右边界会停在比target小的整数处

public class Solution {
int sqrt(int x) {
int i = 0;
int j = x / 2 + 1;
while (i <= j)
{
int mid = (i + j) / 2;
long sq = (long)mid * mid;
if (sq == x) return mid;
else if (sq < x) i = mid + 1;
else j = mid - 1;
}
return j;
}
}

2. 牛顿迭代法

另外，有牛顿法的解法，参见/article/6999389.html，牛顿法同时也可以解结果是double的情况

为了方便理解，就先以本题为例：

计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线(tangent line)，与x轴的交点为x1。

同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

举个例子, 为了求sqrt(n)，就是求：f(x) = x^2 - n当f(x) = 0的解

令y = x^2 - n,

取一点(x1, y1), 其切线方程是y-y1 = 2x1*(x - x1)， where 2x1是（x1,y1）处导数

y - (x1^2 - n) = 2x1*(x - x1)

y = 2x1*x - x1^2 - n

令y取零， 0 = 2x1*x - x1^2 - n

x2 <-------- 解得 x = x1/2 + n/2x1

有了迭代公式，程序就好写了。

输入输出都是int型：

public class Newton {
public int sqrt(int x) {
if (x == 0) return 0;
double last = 0;
double res = 1;
while (res != last)
{
last = res;
res = (res + x / res) / 2;
}
return (int)res;

}

public static void main(String[] args){
Newton newton = new Newton();
System.out.println(newton.sqrt(20));
}
}

输入输出都是double型，或者输入int, 输出double：

public class Newton {
public double sqrt(int x) {
if (x == 0) return 0;
double last = 0;
double res = 1;
while (res != last)
{
last = res;
res = (res + x / res) / 2;
}
return res;

}

public static void main(String[] args){
Newton newton = new Newton();
System.out.println(newton.sqrt(3));
}
}