Union-find（Algorithms, Part 1, week 1 ）

最近开始在Coursera上听公开课， Princeton的算法课感觉挺不错的，鉴于自己原来欠下了太多技术债务，决定好好努力，争取能够跟下来，每堂课会总结记录一点东西

课程视频的地址：https://class.coursera.org/algs4partI-006/lecture， 感谢Coursera提供了这么好的一个平台

中文相关资料：http://blog.csdn.net/dm_vincent/article/details/7655764

union-find算法翻译成中文有的叫并查集/联合查找算法，主要实现判断两个节点之间是否有通路，

如下图所示union（4,3）在4和3之间建立连接，connected（0,7）判断0和7之间是否由有连接

连接具有对称性和传递性

（1）p->q, 则q->p

 (2) p->q,q->r,则p->r



uion过程举例

Union-Find的API接口

1.Quick-Find

设元素个数为N，利用id
数组存储连接情况，如下图所示若第i个元素与第j个元素相连接，则id[i]=id[j]

public class QuickFindUF
{

private int id[];

//初始化 id数组
public QuickFindUF(int N)
{
id=new int
;
for(int i=0;i<N;i++)
{
id[i]=i;
}
}

public boolean Connect(int p,int q)
{
return (id[p]==id[q]);
}

//将所有id[]中与pid相同的置为qid
public void Union(int p,int q)
{
int pid=id[p];
int qid=id[q];

if(pid!=qid)
{
for(int i=0;i<id.length;i++)
{
if(id[i]==pid)
{
id[i]=qid;
}
}
}
}

}

这种方法的一个Union命令的执行需要访问id[]数组N次，过于复杂

2.Quick-Union

当一个元素i，id[i]=i时，i为root
利用树的结构，每次union(p,q)的时候只将p所在的组的root的值改为q所在组的root的值
判断connect时，若root(p)==root(q),则认为两者是连通的

public class QuickUnionUF
{
private int id[];

//初始化 id数组
public QuickUnionUF(int N)
{
id=new int
;
for(int i=0;i<N;i++)
{
id[i]=i;
}
}

//返回元素i的root节点
private int root(int p)
{
while(id[p]!=p)
{
p=id[p];
}
return p;
}
public boolean Connect(int p,int q)
{
return (root(p)==root(q));
}

//修改p所在组的root，将id[root(p)]=root(q)
public void Union(int p,int q)
{
int i=root(p);
int j=root(q);
id[i]=j;
}
}

3.Improvement

QuickUnion方法建立的树可能会很高，最坏情况是一个链表状的，这样每次在判断connect，寻找root的时候就会比较耗时
所以想建立尽量平衡的树，所有有以下改进

（1）Improvement 1：weighting

QuickUnion方法不管p和q所在树的大小直接把p所在的root挂在q的root上
通过weight方法判断p和q的所在树的大小，将较小的树挂在较大的树上，这样会实现尽量的平衡
为了记录树的大小引入sz[]数组，sz[i]表示以i为root的树的大小（即有多少个元素)，在union函数中修改sz[]



任何一个元素x的深度不会大于lgN，lg表示以2为底取对数（因为树最坏的情况是二叉的，每层元素少，所以深度会较深）

（2）Improvement 2：path compression

 在寻找节点p的root后，将经过的路径中的每一个节点都直接挂在root下



有两种实现方法
1. 在root函数中直接在找root的while循环后再加一层循环，将p到root途经的每一个节点都直接指向root
2.直接在root的while循环中修改，将其指向它的grandpa节点~（不如第一种方法彻底，但是也会压缩路径）

M次操作的复杂度：



lg*运算代表迭代取lg运算 while（lgN>1）{ N=lgN; i++}  e.g. lg*65536=5

4.应用

连通性的估计



从上到下的渗透，白色的格子表示连通区域，白色的格子越多，从上到下渗透的可能性越大



求这样一个白色格子所占比例p的临界值，当大于p时有很大的可能性连通

利用蒙特卡罗估计方法，现将N*N的格子全部置黑，然后每一次随机置白一个格子（union过程），计算从最顶层元素到最低层元素是否连通（判断connect过程）
计算过程中，不用依次计算每一个顶层格子到底层格子是否连通，直接将所有的顶层连接到一个虚拟的root，将底层连接到另一虚拟的root上，每次只判断两个root是否连通即可，通过多次反复试验，估计p值