《算法之道》精华 难解问题部分

《算法之道》精华 难解问题部分

本书作者邹恒明，作者另有一本书《数据结构之弦》，以及《操作系统之哲学原理》都是很好的书
这本书可以算得上是深入浅出，文笔很好，作者添加了很多自己的思考
本文包括难解问题部分

第十三章 易解与难解

易解指的是多项式问题，难解指的是指数级问题
决策问题
需要输出答案是/否
若回答为是，通常需要一个证人来证明。对一个潜在证人，证明之后即为真证人
优化问题和决策问题之间可以相互转化

P类问题
确定性多项式时间可解
对于一个决策问题，输入的大小为n，能在n的多项式时间内解决，正确输出是/否

NP类问题
非确定性多项式时间可解
对于一个决策问题，大小为n的潜在证人，能在n的多项式时间内解决，正确输出此证人是否为真
P类问题指的是能否多项式时间给出答案，NP类问题指的是能否在多项式时间内判断一个潜在答案是否正确

（确定性）图灵机
图灵机为一个状态机，根据当前状态、下一个输入字符确定输出、磁头移动方向、下一个状态
任一个问题、算法都能表述为一个字符串，因此图灵机可以解决很多问题

非确定性图灵机
与确定性图灵机相比，给定状态与输入可以有多种选择
能够同时进入所有状态路径，且能做出最好的选择以达到接受状态
非确定性算法：在非确定性图灵机上运行的算法
NP问题的另一个定义：使用非确定性算法，在多项式时间内解决

P与NP的关系
所有P类问题都是NP的
所有NP不一定是P，直觉如此，但无法证明
部分NP为P，目前已经找到多项式解法，目前没有找到多项式解法的NP问题称为NP-hard

第十四章 NP完全问题

如果NP里每一个问题都可以多项式时间规约到S，则S称为NP难（严谨的定义）。S不比NP里面任一问题容易
如果问题S既是NP难，又是NP里的问题，则称为NP完全问题
NP完全的属性
非确定性算法多项式时间可解
完全：解决一个就解决了所有NP完全问题

若找到一个NP完全问题的确定性解法，就证明了NP=P
若找到一个NP难优化问题的多项式时间解，就证明了NP=P
NP完全的意义：若能证明一个问题为NP完全问题，则无需再寻找精确解，找到启发性的近似解即可
常见NP完全问题
3-SAT
整数分割
顶点覆盖
汉密尔顿回路 可规约至旅行商问题
完全子图
图的着色
旅行商
整数规划属于NP难问题，但不是NP问题，因此不是NP完全问题

第十五章 无解与近似

NP完全只是NP里最难的问题，目前没有找到多项式解法
难解问题不存在多项式解法
不可决定问题：是无解的，即使是指数级也无济于事。但又潜在证人
对于NP完全和难解问题，可以尝试找出次优解
智能穷举
能找的最优解
两种剪枝策略：回溯法、分支限界
如八皇后问题

近似算法
能找到近似的解
如聚类问题、启发式搜索、模拟退火、遗传算法

本地搜索
一种贪婪策略
不断向更优的可行解移动，可能仅能找到局部最优解