动态规划(4)详细讲解各最短路径算法及比较

1 最短路径问题（The shortest-path problem, SPP）

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

1) 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。

2) 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

3）确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

4）全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

最短路径在导航中有重要应用，如从出发地到目的地的最短路径，从救灾处到受灾处的最短路径等。

各最短路径算法比较

2 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

2.1 定义

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离，该算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

2.2 算法描述

这个算法是通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，原点 s 的路径长度值被赋为 0 （d[s] = 0），若存在能直接到达的边（s,m），则把d[m]设为w（s,m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于 V 中所有顶点 v 除 s 和上述 m 外 d[v] =
∞）。当算法退出时，d[v] 中存储的便是从 s 到 v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。 Dijkstra 算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从 u 到 v 的边，那么从 s 到 v 的最短路径可以通过将边（u, v）添加到尾部来拓展一条从 s 到 u 的路径。这条路径的长度是 d[u] + w(u, v)。如果这个值比目前已知的 d[v] 的值要小，我们可以用新值来替代当前 d[v] 中的值。拓展边的操作一直运行到所有的
d[v] 都代表从 s 到 v 最短路径的花费。这个算法经过组织因而当d[u] 达到它最终的值的时候每条边（u, v）都只被拓展一次。

算法维护两个顶点集 S 和 Q。集合 S 保留了我们已知的所有 d[v] 的值已经是最短路径的值顶点，而集合 Q 则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从 Q 移动到 S。这个被选择的顶点是 Q 中拥有最小的 d[u] 值的顶点。当一个顶点 u 从 Q 中转移到了 S 中，算法对每条外接边 (u, v) 进行拓展。

2.2 算法过程图解

以下图为例，具体说明算法的执行过程。



我们将图中的节点分为3类：

1）当前访问的点Current vertex

2) 与当前访问节点相通，但是未访问过的点Fringe vertex

3) 已经访问过的点Visited vertex

为便于图中识别，用下述颜色区分这3种节点：



同时，为了保存当前得到的从开始节点到各个节点的最短路径，我们需要用一个小本本来记录这些值，如下图中的表格（第一行表示各个节点，其下的值代表当前从开始节点到目标节点的最短路径，值后边括号如110（via B）表示到达该节点前要通过的前一个节点是B）。

step 1初始化

从节点A开始，A的Fringe vertex 是B和D（图中inf代表infinite，表示从当前节点到目标节点的路径值还未知，我们设为无穷大）



step 2

get mini in note

从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为B

update distance in note

更新note中从开始点到各个节点的路径，使从开始节点到各个节点的路径最短。具体步骤如下：

1)计算从开始节点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下

startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe

其中startToCurrent为开始节点到当前节点的路径（该值从note中获得），currentToFringe为当前节点到Frignge节点的路径（该值从原始图中获得）。

当前节点为B，Fringe vertex 为C和D,以Fringe C为例

startToC=startToB+ currentToC=50+60=110

2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）

以Fringe C为例，CInNoteDist=inf
3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。

因为startToC<CInNoteDist,所以note中到达C的值为110（B）

同样，对Fringe D，做同样的计算：

startToD=startToB+currentToD=50+90=140

DInNoteDist=80

startToD>DInNoteDist，所以D在note中的值不变



step 3

get mini in note

从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为D

update distance in note

更新note中从开始点到各个点的路径，使从开始点到各个点的路径最短。具体步骤如下：

1)计算从开始点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下

startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe

其中startToCurrent为开始点到当前点的路径，currentToFringe为当前点到Frignge点的路径。

当前点为D，Fringe vertex 为C和E,以Fringe C为例

startToC=startToD+ currentToC=80+20=100

2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）

以Fringe C为例，CInNoteDist=110

3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。

因为startToC<CInNoteDist,所以note中到达C的值为100（D）

同样，对Fringe E，做同样的计算：

startToE=startToD+currentToE=80+70=150

DInNoteDist=inf

startToD<DInNoteDist，所以note中到达E的值为150（D）



step4

get mini in note

从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为C

update distance in note

更新note中从开始点到各个点的路径，使从开始点到各个点的路径最短。具体步骤如下：

1)计算从开始点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下

startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe

其中startToCurrent为开始点到当前点的路径，currentToFringe为当前点到Frignge点的路径。

当前点为C，Fringe vertex 为E,以Fringe E为例

startToE=startToC+ currentToE=100+40=140

2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）

以Fringe E为例，EInNoteDist=150

3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。

因为startToE<EInNoteDist,所以note中到达E的值为140（C）



step5

从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为E,但是图中没有未访问过的点，及其他点都已经访问过，如下图



因此，E为最后一个点，因此将E标识为已访问过的点，至此算法结束



最后，note中得到的值是从开始点到各个点的最短路径。

2.3 算法实现

2.3.1 算法主框架设计

我们看到上述算法过程，主要是以下3个步骤：

1）initial初始化

选择开始节点，初始化小本本note中的值。

2）get mini in note 获取下一个当前节点

从note中获取到达未访问节点的最短路径的节点为当前节点，有点拗口，这样说吧，即获取当前note中未访问节点中有最小值的那个。

3）update distance in note

更新note中未访问节点的值，使这个值最小（要记住，这个值代表从开始节点到该节点的当前最短路径。）

具体步骤如下：

1)计算从开始节点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下

startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe

其中startToCurrent为开始节点到当前节点的路径（该值从note中获得），currentToFringe为当前节点到Frignge节点的路径（该值从原始图中获得）。

2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）

3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。

因为startToC<CInNoteDist,所以note中到达C的值为110（B）

算法什么时候结束呢？重复上述步骤2和3直到所有的节点都访问过结束。

要实现该算法，结合上述算法过程，需要解决如下问题：

1）上图中的3类节点在代码中如何表示

Fringe vertex可以从图的邻接矩阵或邻接链表中获得， Current vertex 从小本本note中获得， un-visited vertex可以在节点中加入属性（如isInTree）来标识。

2）小本本note如何表示？

小本本可以用数组或优先队列来实现，小本本中的值可以用以下对象进行抽象:

[java] view
plaincopy

<span style="font-size:18px">class DistPar // distance and parent

{ // items stored in sPath array

public int distance; // distance from start to this vertex

public int parentVert; // current parent of this vertex

// -------------------------------------------------------------

public DistPar(int pv, int d) // constructor

{

distance = d;

parentVert = pv;

}

// -------------------------------------------------------------

} // end class DistPar</span>

根据上述过程，算法主框架实现如下：

[java] view
plaincopy

<span style="font-size:18px">// -------------------------------------------------------------

public void path() // find all shortest paths

{

//1 initial

int currentVerIndex = 0; // start at vertex 0

vertexList[currentVerIndex].isInTree = true; //isInTree records whether the vertex's visited

nTree = 1; // record how many vertices has been visited

// transfer row of distances from adjMat to sPath

for(int j=0; j<nVerts; j++)

{

int tempDist = adjMat[currentVerIndex][j];

sPath[j] = new DistPar(currentVerIndex, tempDist); //sPath is the note, here represent as an array

}

while(nTree < nVerts) //base case: until all vertices are in the tree

{

//2 get minimum from sPath

currentVerIndex = getMin();

//3 update path

updatePath(currentVerIndex);

} // end while(nTree<nVerts)

displayPaths(); // display sPath[] contents

nTree = 0; // clear tree

for(int j=0; j<nVerts; j++)

vertexList[j].isInTree = false;

} // end path()

</span>

2.3.2 具体实现

上述方法 //2 get minimum from sPath

currentVerIndex = getMin();

//3 update path

updatePath(currentVerIndex);

具体实现如下：

[java] view
plaincopy

<span style="font-size:18px">// -------------------------------------------------------------

public int getMin() // get entry from sPath

{ // with minimum distance

int minDist = INFINITY; // assume minimum

int indexMin = 0;

for(int j=1; j<nVerts; j++) // for each vertex,

{ // if it's in tree and

if( !vertexList[j].isInTree && // smaller than old one

sPath[j].distance < minDist )

{

minDist = sPath[j].distance;

indexMin = j; // update minimum

}

} // end for

return indexMin; // return index of minimum

} // end getMin()</span>

[java] view
plaincopy

<span style="font-size:18px">// -------------------------------------------------------------

public void updatePath()

{

// adjust values in shortest-path array sPath

int column = 1; // skip starting vertex

while(column < nVerts) // go across columns

{

// if this column's vertex already in tree, skip it

if( vertexList[column].isInTree )

{

column++;

continue;

}

// calculate distance for one sPath entry

// get edge from currentVert to column

int currentToFringe = adjMat[currentVert][column];

// add distance from start

int startToFringe = startToCurrent + currentToFringe;

// get distance of current sPath entry

int sPathDist = sPath[column].distance;

// compare distance from start with sPath entry

if(startToFringe < sPathDist) // if shorter,

{ // update sPath

sPath[column].parentVert = currentVert;

sPath[column].distance = startToFringe;

}

column++;

} // end while(column < nVerts)

} // end adjust_sPath()</span>

2.3.3 全部算法代码

[java] view
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<span style="font-size:18px">// path.java

// demonstrates shortest path with weighted, directed graphs

// to run this program: C>java PathApp

////////////////////////////////////////////////////////////////

class DistPar // distance and parent

{ // items stored in sPath array

public int distance; // distance from start to this vertex

public int parentVert; // current parent of this vertex

// -------------------------------------------------------------

public DistPar(int pv, int d) // constructor

{

distance = d;

parentVert = pv;

}

// -------------------------------------------------------------

} // end class DistPar

///////////////////////////////////////////////////////////////

class Vertex

{

public char label; // label (e.g. 'A')

public boolean isInTree;

// -------------------------------------------------------------

public Vertex(char lab) // constructor

{

label = lab;

isInTree = false;

}

// -------------------------------------------------------------

} // end class Vertex

////////////////////////////////////////////////////////////////

class Graph

{

private final int MAX_VERTS = 20;

private final int INFINITY = 1000000;

private Vertex vertexList[]; // list of vertices

private int adjMat[][]; // adjacency matrix

private int nVerts; // current number of vertices

private int nTree; // number of verts in tree

private DistPar sPath[]; // array for shortest-path data

private int currentVert; // current vertex

private int startToCurrent; // distance to currentVert

// -------------------------------------------------------------

public Graph() // constructor

{

vertexList = new Vertex[MAX_VERTS];

// adjacency matrix

adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS];

nVerts = 0;

nTree = 0;

for(int j=0; j<MAX_VERTS; j++) // set adjacency

for(int k=0; k<MAX_VERTS; k++) // matrix

adjMat[j][k] = INFINITY; // to infinity

sPath = new DistPar[MAX_VERTS]; // shortest paths

} // end constructor

// -------------------------------------------------------------

public void addVertex(char lab)

{

vertexList[nVerts++] = new Vertex(lab);

}

// -------------------------------------------------------------

public void addEdge(int start, int end, int weight)

{

adjMat[start][end] = weight; // (directed)

}

// -------------------------------------------------------------

// find all shortest paths

public void path(){

//step1 initial

int startTree = 0; // start at vertex 0

vertexList[startTree].isInTree = true; //isInTree records whether the vertex's visited

nTree = 1; //record how many vertices has been visited

// transfer row of distances from adjMat to sPath

for(int j=0; j<nVerts; j++){

int tempDist = adjMat[startTree][j];

sPath[j] = new DistPar(startTree, tempDist); //sPath is the note, here represent as an array

}

while(nTree < nVerts) { //base case: until all vertices are in the tree

//step2 get minimum from sPath

int indexMin = getMin();

int minDist = sPath[indexMin].distance;

//special case: if all infinite or in tree,sPath is complete

if(minDist == INFINITY) {

System.out.println("There are unreachable vertices");

break;

}

else{ // reset currentVert

currentVert = indexMin; // to closest vert

// minimum distance from startTree is to currentVert, and is startToCurrent

startToCurrent = sPath[indexMin].distance;

}

// put current vertex in tree

vertexList[currentVert].isInTree = true;

nTree++;

//step3 update path

updatePath(); // update sPath[] array

} // end while(nTree<nVerts)

//step4 printout all shortest path

displayPaths(); // display sPath[] contents

nTree = 0; // clear tree

for(int j=0; j<nVerts; j++)

vertexList[j].isInTree = false;

} // end path()

// -------------------------------------------------------------

public int getMin() // get entry from sPath

{ // with minimum distance

int minDist = INFINITY; // assume minimum

int indexMin = 0;

for(int j=1; j<nVerts; j++) // for each vertex,

{ // if it's in tree and

if( !vertexList[j].isInTree && // smaller than old one

sPath[j].distance < minDist )

{

minDist = sPath[j].distance;

indexMin = j; // update minimum

}

} // end for

return indexMin; // return index of minimum

} // end getMin()

// -------------------------------------------------------------

public void updatePath()

{

// adjust values in shortest-path array sPath

int column = 1; // skip starting vertex

while(column < nVerts) // go across columns

{

// if this column's vertex already in tree, skip it

if( vertexList[column].isInTree )

{

column++;

continue;

}

// calculate distance for one sPath entry

// get edge from currentVert to column

int currentToFringe = adjMat[currentVert][column];

// add distance from start

int startToFringe = startToCurrent + currentToFringe;

// get distance of current sPath entry

int sPathDist = sPath[column].distance;

// compare distance from start with sPath entry

if(startToFringe < sPathDist) // if shorter,

{ // update sPath

sPath[column].parentVert = currentVert;

sPath[column].distance = startToFringe;

}

column++;

} // end while(column < nVerts)

} // end adjust_sPath()

// -------------------------------------------------------------

public void displayPaths()

{

for(int j=0; j<nVerts; j++) // display contents of sPath[]

{

System.out.print(vertexList[j].label + "="); // B=

if(sPath[j].distance == INFINITY)

System.out.print("inf"); // inf

else

System.out.print(sPath[j].distance); // 50

char parent = vertexList[ sPath[j].parentVert ].label;

System.out.print("(" + parent + ") "); // (A)

}

System.out.println("");

}

// -------------------------------------------------------------

} // end class Graph

////////////////////////////////////////////////////////////////

class PathApp

{

public static void main(String[] args)

{

Graph theGraph = new Graph();

theGraph.addVertex('A'); // 0 (start)

theGraph.addVertex('B'); // 1

theGraph.addVertex('C'); // 2

theGraph.addVertex('D'); // 3

theGraph.addVertex('E'); // 4

theGraph.addEdge(0, 1, 50); // AB 50

theGraph.addEdge(0, 3, 80); // AD 80

theGraph.addEdge(1, 2, 60); // BC 60

theGraph.addEdge(1, 3, 90); // BD 90

theGraph.addEdge(2, 4, 40); // CE 40

theGraph.addEdge(3, 2, 20); // DC 20

theGraph.addEdge(3, 4, 70); // DE 70

theGraph.addEdge(4, 1, 50); // EB 50

System.out.println("Shortest paths");

theGraph.path(); // shortest paths

System.out.println();

} // end main()

} // end class PathApp

////////////////////////////////////////////////////////////////

</span>

注：代码来自于书《Data Structure & Algorithm in JAVA》

Floyd-Warshall算法（动态规划）

是解决任意两点间的最短路径的一种算法，时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。

设 dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离

若最短路径经过点k，则dist(i,j)=dist(i,k) + dist(k,j),将该路径与先前的dist(i,j)比较获取最小值，即

dist(i,j)=min( dist(i,k) + dist(k,j) ,dist(i,j) )

Floyd-Warshall算法的描述如下：

[java] view
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<span style="font-size:18px">//根据图的邻接矩阵，或邻接链表，初始化dist(i,j)

//其中dist(i,j)表示由点i到点j的代价，当dist(i,j)为 inf 表示两点之间没有任何连接。

For i←1 to n do

For j←1 to n do

dist(i,j) = weight(i,j)

//计算最短路径

for k ← 1 to n do

for i ← 1 to n do

for j ← 1 to n do

if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径？

dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)</span>

Bellman-Ford（动态规划）

求单源最短路，可以判断有无负权回路（若有，则不存在最短路），时效性较好，时间复杂度O（VE）。

step1:初始化dist(i),除了初始点的值为0，其余都为infinit（表示无穷大，不可到达）,pred表示经过的前一个顶点

step2:执行n-1（n等于图中点的个数）次松弛计算：dist(j)=min( dist(i)+weight(i,j),dist(j) )

step3:再重复操作一次，如国dist(j) > distdist(i)+weight(i,j)表示途中存在从源点可达的权为负的回路。

因为，如果存在从源点可达的权为负的回路，则应为无法收敛而导致不能求出最短路径。

因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第n次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

[java] view
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int[] dist=new int
;

int[] pre=new int
;

public void Bellman_Ford(){

//初始化

for(int i=1;i<n-1;i++){

dist[i]=infinit; //TODO

}//end for

dist[s]=0 //起始点的值

for (int i=1;i<=n-1;i++){

for(int j=1;j<=edgenum; j++){

if(dist(i)+weight(i,j) <dist(j) ){

dist(j)=dist(i)+weight(i,j);

pred(j)=i;

}//end if

}//end for

}//end for

//

for(int j=1;j<=edgenum;j++){

if(dist(i)+weight(i,j)<dist()j )

return "有负权回路，不存在最短路径";

}//end for

}//end Bellman_Ford()

A*算法

A*搜寻算法，俗称A星算法，作为启发式搜索算法中的一种，这是一种在图形平面上，有多个节点的路径，求出最低通过成本的算法。

常用于游戏中的NPC的移动计算，或线上游戏的BOT的移动计算上。该算法像Dijkstra算法一样，可以找到一条最短路径；也像BFS一样，进行启发式的搜索。

详细见http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6093380

次最短路径

将最短路径中边在图中去掉，然后再求一次最小生成树

其他

【google笔试题】，一个环形公路，给出相邻两点的距离（一个数组），让你求任意两点的最短距离，要求空间复杂度不超过O(N)