求数组的连续子序列最大和

1.首先最朴素的方法是暴力 O(n^3)

直接两个for循环枚举子序列的首尾，然后再来个循环计算序列的和，每次更新和的最大值。

但是这种方法的复杂度是O(n^3)，效率实在太低了。。。

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2. 第二种方法是预处理 O(n^2)

在读入的时候将前面数的和放在数组中，就能得到一个数组sum[i]储存前i个数的和。然后两重循环枚举首尾，利用sum数组迅速求出子序列的和。

其实这种方法只是优化了前面那种方法的计算和的循环，复杂的是O(n^2)，也很糟糕。

3. 第三种是动态规划 O(n)

dp做法是很普遍的做法，只要想出状态转移方程就可以很快做出来了。

状态转移方程：sum[i] = max{sum[i-1]+a[i],a[i]}. (sum[i]记录以a[i]为子序列末端的最大连续和。)在dp的过程中便可以更新sum数组的最大值以及两个边界。

其实完全可以不用开数组，累计sum直到sum + a < a，把sum赋值为a，更新最大值就行了。你会发现这跟第4种方法是一样的。。。只是判断条件不一样，一个是sum <= 0一个是sum + a < a。。。（其实是一样的。。。）所以复杂度和第四种是一样的都是O(n)。

/* 最大子数组 返回起始位置 */
<pre name="code" class="cpp">void Maxsum_location(int * arr, int size, int & start, int & end)
{
int maxSum = -INF;
int sum = 0;
int curstart = start = 0;  /* curstart记录每次当前起始位置 */
for(int i = 0; i < size; ++i)
{
if(sum < 0)
{
sum = arr[i];
curstart = i;     /* 记录当前的起始位置 */
}else
{
sum += arr[i];
}
if(sum > maxSum)
{
maxSum = sum;
start = curstart; /* 记录并更新最大子数组起始位置 */
end = i;
}
}
}

另外一种方法求起始位置

void Maxsum_location(int * arr, int size, int & start, int & end)
{
int maxSum = -INF;
int sum = 0;
for(int i = 0; i < size; ++i)
{
if(sum < 0){
sum = arr[i];
}else{
sum += arr[i];
}
if(sum > maxSum)
{
maxSum = sum;
end = i;//结束位置
}
}
int tmp=0;int f=0;
for(int j=end;j>0;j--)
{
tmp+=arr[j];
if(tmp==maxSum)
f=j;//起始位置
}
}