BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林

3669: [Noi2014]魔法森林

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Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】

4 5

1 2 19 1

2 3 8 12

2 4 12 15

1 3 17 8

3 4 1 17

【输入样例2】

3 1

1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】

32

【样例说明1】

如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；

如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；

如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；

如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。

综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。

【输出样例2】

-1

【样例说明2】

小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

Source

题解：

暴力的想法是枚举a的上界，做b的最小生成树。

而且有一个比较显然的性质是：

如果可以在一个生成树中加入一条边，使得树的总权值更小，那么一定是（设这条边连接 x，y）x--y原路径上的最大权值<这条边的权值

删掉这条边，加上新边。

那么我们只需要用LCT，维护点与点之间的最大权值，将边以a排序，一条一条试图往里面加即可。

如果x，y不连通直接加入，否则按上述查询x，y的最大值，比较。

然后每次都更新一下答案。

需要注意的是，边权可以转化成点权，我们从x，y各向这个新点连边、删边即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<string>
#define inf 1000000000
#define maxn 150000+1000
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=n;i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
struct rec{int x,y,a,b;}e[maxn];
int n,m,ans,fa[maxn],c[maxn][2],sta[maxn],f[maxn],next[maxn],mx[maxn],v[maxn];
bool rev[maxn];
inline bool isroot(int x)
{
return c[fa[x]][0]!=x&&c[fa[x]][1]!=x;
}
inline void pushup(int x)
{
mx[x]=x;
if(v[mx[c[x][0]]]>v[mx[x]])mx[x]=mx[c[x][0]];
if(v[mx[c[x][1]]]>v[mx[x]])mx[x]=mx[c[x][1]];
}
inline void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],l=(c[y][1]==x),r=l^1;
if(!isroot(y))c[z][c[z][1]==y]=x;
fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;
c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;
pushup(y);pushup(x);
}
inline void pushdown(int x)
{
if(!rev[x])return;
rev[x]^=1;rev[c[x][0]]^=1;rev[c[x][1]]^=1;
swap(c[x][0],c[x][1]);
}
inline void splay(int x)
{
int top=0;sta[++top]=x;
for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])sta[++top]=fa[y];
for(;top;)pushdown(sta[top--]);
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(!isroot(y))
{
if(c[z][0]==y^c[y][0]==x)rotate(x);else rotate(y);
}
rotate(x);
}
}
inline void access(int x)
{
for(int y=0;x;x=fa[x])
{
splay(x);c[x][1]=y;pushup(x);y=x;
}
}
inline void makeroot(int x)
{
access(x);splay(x);rev[x]^=1;
}
inline int ask(int x,int y)
{
makeroot(x);access(y);splay(y);return mx[y];
}
inline void link(int x,int y)
{
makeroot(x);fa[x]=y;splay(x);
}
inline void cut(int x,int y)
{
makeroot(x);access(y);splay(y);c[y][0]=fa[x]=0;
}
inline bool cmp(rec x,rec y)
{
return x.a<y.a;
}
inline int find(int x)
{
return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
freopen("output.txt","w",stdout);
n=read();m=read();
for1(i,m)e[i].x=read(),e[i].y=read(),e[i].a=read(),e[i].b=read();
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for1(i,m)v[n+i]=e[i].b,mx[i]=n+i;
for1(i,n)f[i]=i;
int x,y,z,xx,yy,ans=inf;
for1(i,m)
{
x=e[i].x,y=e[i].y;
xx=find(x);yy=find(y);
if(xx!=yy)
{
f[xx]=yy;
link(x,n+i);link(y,n+i);
}
else
{
z=ask(x,y);
if(e[i].b<v[z])
{
cut(e[z-n].x,z);cut(e[z-n].y,z);
link(x,n+i);link(y,n+i);
}
}
if(find(1)==find(n))ans=min(ans,v[ask(1,n)]+e[i].a);
}
printf("%d\n",ans==inf?-1:ans);
return 0;
}

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