UVALIVE 3305 Tour

思路【转】：
欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图（a）给出了一个7个点问题的解。这个问题的一般形式是NP完全的，故其解需要多于多项式的时间。

J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。


图a

图b

注:在一个单位栅格上显示的平面上的七个点。 a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。b)相同点的集合上的最短双调闭合路线。长度大约是25.58。

这是一个算导上的思考题15-1。

首先将给出的点排序，关键字x，重新编号，从左至右1，2，3，…，n。

定义p[i][j]，表示结点i到结点j之间的距离。

定义d[i][j]，表示从i连到1，再从1连到j，（注意，i>j，且并没有相连。）



对于任意一个点i来说，有两种连接方法，一种是如图（a）所示，i与i-1相连，另一种呢是如图（b），i与i-1不相连。

根据双调旅程，我们知道结点n一定与n相连，那么，如果我们求的d
[n-1]，只需将其加上p[n-1]
就是最短双调闭合路线。

根据上图，很容易写出方程式：

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dist[i][i-1];

dp[i][i-1]=min(dp[i][i-1],dp[i-1][j]+dist[j][i]);

代码

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define PI 3.1415926535897932626
using namespace std;
int gcd(int a, int b) {return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);}
#define MAXN 105
struct node
{
int x,y;
}src[MAXN];
double dp[MAXN][MAXN];
double dis[MAXN][MAXN];
double dist(int ida,int idb)
{
return sqrt((double)((src[ida].x-src[idb].x)*(src[ida].x-src[idb].x)+(src[ida].y-src[idb].y)*(src[ida].y-src[idb].y)));
}
int N;
int main()
{
while (scanf("%d",&N)!=EOF)
{
for (int i=1;i<=N;i++)
scanf("%d%d",&src[i].x,&src[i].y);
if (N==1){  puts("0.00"); continue; }
for (int i=1;i<=N;i++)
{
dis[i][i]=0;
for (int j=i+1;j<=N;j++)
dis[i][j]=dis[j][i]=dist(i,j);
}
for (int i=0;i<=N;i++) for (int j=0;j<=N;j++) dp[i][j]=1e9;
dp[2][1]=dis[2][1];
//printf("%lf %lf\n",dp[2][1],dp[3][1]);
for (int i=2;i<=N;i++)
for (int j=1;j<i;j++)
{
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+dis[i-1][i]);
dp[i][i-1]=min(dp[i][i-1],dp[i-1][j]+dis[i][j]);
}
printf("%.2lf\n",dp
[N-1]+dis
[N-1]);
}
return 0;
}