最大公约数gcd算法及其扩展
2014-08-23 13:03
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gcd(greatest common divisor)
欧几里得算法:
模板如下:
简单写下证明:
求证gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
令a=k*b+mod;x=gcd(a,b),y=gcd(b,a%b)=gcd(b,mod);
x是a,b的最大公约数,显然可以整除a,b,由于mod=a-k*b,x可以整除mod。
x是b,mod公约数。
y是b,mod的最大公约数,显然可以整除b,mod,进而可以整除a。
y是a,b公约数。
x整除y,y整除x,所以x=y。
复杂度为o(logmax(a,b));
看到一篇文章,有助于更为直观的理解gcd
“ 在《几何原本》第七卷的命题 2当中, Euclid给出了一种求最大公度单位的通用算法,这就是后来所说的
Euclid算法。这种方法其实非常直观。假如我们要求线段 a和线段 b的最大公度单位,不妨假设
a比 b更长。如果 b正好能度量 a,那么考虑到
b当然也能度量它自身,因而 b就是 a和 b的一个公度单位;如果
b不能度量 a,这说明 a的长度等于 b的某个整倍数,再加上一个零头。我们不妨把这个零头的长度记作
c。如果有某条线段能够同时度量 b和 c
,那么它显然也就能度量 a。也就是说,为了找到 a和 b的公度单位,我们只需要去寻找
b和 c的公度单位即可。怎样找呢?我们故技重施,看看 c是否能正好度量 b。如果
c 正好能度量 b,c就是 b和
c的公度单位,从而也就是 a和 b的公度单位;如果 c不能度量
b,那看一看 b被 c度量之后剩余的零头,把它记作 d,然后继续用
d度量 c
,并不断这样继续下去,直到某一步没有零头了为止。”————《跨越千年的RSA算法》
PS:这篇文章写得很好,推荐大家去读^O^~
http://www.matrix67.com/blog/archives/5100
扩展欧几里得(解同模方程)
=============================== _(:з」∠)_==============我是模板========================
============================== _(:з」∠)_==============模板债见========================
主要就两个式子(递归思想)
Ax1+By1=gcd(a,b);
Bx2+A%By2=gcd(b,a%b);=>一直递归到a%b=0;x=1,y=0;
stein算法
补充gcd的性质
a,b均为偶数时,gcd(a,b)=gcd(a>>1,b>>1)<<1;
a为奇数,b为偶数时,gcd(a,b)=gcd(a,b>>1);
a为偶数,b为奇数时,gcd(a,b)=gcd(a>>1,b);
a,b均为奇数时,gcd(a,b)=(abs(a-b),min(a,b));
=============================== _(:з」∠)_============我是模板=========================
=============================== _(:з」∠)_==============模板债见========================
欧几里得算法:
模板如下:
int gcd(int a,int b) { if(!b)return a; return gcd(b,a%b); }
简单写下证明:
求证gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
令a=k*b+mod;x=gcd(a,b),y=gcd(b,a%b)=gcd(b,mod);
x是a,b的最大公约数,显然可以整除a,b,由于mod=a-k*b,x可以整除mod。
x是b,mod公约数。
y是b,mod的最大公约数,显然可以整除b,mod,进而可以整除a。
y是a,b公约数。
x整除y,y整除x,所以x=y。
复杂度为o(logmax(a,b));
看到一篇文章,有助于更为直观的理解gcd
“ 在《几何原本》第七卷的命题 2当中, Euclid给出了一种求最大公度单位的通用算法,这就是后来所说的
Euclid算法。这种方法其实非常直观。假如我们要求线段 a和线段 b的最大公度单位,不妨假设
a比 b更长。如果 b正好能度量 a,那么考虑到
b当然也能度量它自身,因而 b就是 a和 b的一个公度单位;如果
b不能度量 a,这说明 a的长度等于 b的某个整倍数,再加上一个零头。我们不妨把这个零头的长度记作
c。如果有某条线段能够同时度量 b和 c
,那么它显然也就能度量 a。也就是说,为了找到 a和 b的公度单位,我们只需要去寻找
b和 c的公度单位即可。怎样找呢?我们故技重施,看看 c是否能正好度量 b。如果
c 正好能度量 b,c就是 b和
c的公度单位,从而也就是 a和 b的公度单位;如果 c不能度量
b,那看一看 b被 c度量之后剩余的零头,把它记作 d,然后继续用
d度量 c
,并不断这样继续下去,直到某一步没有零头了为止。”————《跨越千年的RSA算法》
PS:这篇文章写得很好,推荐大家去读^O^~
http://www.matrix67.com/blog/archives/5100
扩展欧几里得(解同模方程)
=============================== _(:з」∠)_==============我是模板========================
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b) { x=1;y=0; return ; } exgcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x; }
============================== _(:з」∠)_==============模板债见========================
主要就两个式子(递归思想)
Ax1+By1=gcd(a,b);
Bx2+A%By2=gcd(b,a%b);=>一直递归到a%b=0;x=1,y=0;
stein算法
补充gcd的性质
a,b均为偶数时,gcd(a,b)=gcd(a>>1,b>>1)<<1;
a为奇数,b为偶数时,gcd(a,b)=gcd(a,b>>1);
a为偶数,b为奇数时,gcd(a,b)=gcd(a>>1,b);
a,b均为奇数时,gcd(a,b)=(abs(a-b),min(a,b));
=============================== _(:з」∠)_============我是模板=========================
int sgcd(int a,int b) { if(!a)return b; if(!b)return a; if(!(a&1)&&!(b&1)) return sgcd(a>>1,b>>1)<<1; if(!(a&1)) return sgcd(a>>1,b); if(!(b&1)) return sgcd(a,b>>1); return sgcd(abs(a-b),min(a,b)); }
=============================== _(:з」∠)_==============模板债见========================
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