HDU 1853 Cyclic Tour(二分图最优匹配:有向环覆盖)

HDU 1853 Cyclic Tour(二分图最优匹配:有向环覆盖)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1853
题意:

给你一个N个点M条边的带权有向图,现在要你求这样一个值:

该有向图中的所有顶点正好被1个或多个不相交的有向环覆盖.

这个值就是 所有这些有向环的权值和. 要求该值越小越好.

分析:

我们把任意一个顶点i都分成两个,即i和i’. 如果原图存在i->j的边,那么二分图有i->j’的边.

下面我们要引出几条结论:

如果原图能由多个不相交的有向环覆盖,那么二分图必然存在完备匹配.(假设原图的有向环为(1->2->3->1) and(6->5->4->6),那么二分图的完备匹配就是1->2’ 2->3’
3->1’6->5’ 5->4’ 4->6’)

如果二分图存在完备匹配,那么原图必定能由几个不想交的有向环覆盖.(假设二分图的完备匹配是1->2’ 2->3’
3->1’ 6->5’ 5->4’ 4->6’那么原图的有向环为(1->2->3->1)
and (6->5->4->6))

如果原图存在权值最大的有向环覆盖,那么二分图的最优匹配一定就是这个值.(因为该有向环覆盖对应了一个二分图的完备匹配,而该完备匹配的权值就等于该有向环覆盖的权值,所以最优匹配不可能丢失该最大权值的匹配)

现在原题要求的是最小长度匹配,我们把所有已知边的权值都取负数,且那些不存在的边我们取-INF(负无穷). 如果完备匹配存在,那么我们求出的最优匹配权值的绝对值 肯定<INF. 且该绝对值就是最小权值匹配.

如果完备匹配不存在,那么最优匹配权值的绝对值 肯定>INF.(想想是不是) 或者这么说,如果最终求得的匹配中,有任何一个匹配边用了权值为负无穷的边,那么最优匹配不存在(即完备匹配不存在)

注意:此题输入可能存在重边.

AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 1e9
using namespace std;
const int maxn=100+10;

struct Max_Match
{
    int n,W[maxn][maxn];
    int Lx[maxn],Ly[maxn];
    bool S[maxn],T[maxn];
    int left[maxn];

    bool match(int i)
    {
        S[i]=true;
        for(int j=1;j<=n;j++)if(Lx[i]+Ly[j]==W[i][j] && !T[j])
        {
            T[j]=true;
            if(left[j]==-1 || match(left[j]))
            {
                left[j]=i;
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    void update()
    {
        int a=1<<30;
        for(int i=1;i<=n;i++)if(S[i])
        for(int j=1;j<=n;j++)if(!T[j])
            a=min(a, Lx[i]+Ly[j]-W[i][j]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(S[i]) Lx[i] -=a;
            if(T[i]) Ly[i] +=a;
        }
    }

    int solve(int n)
    {
        this->n=n;
        memset(left,-1,sizeof(left));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            Lx[i]=Ly[i]=0;
            for(int j=1;j<=n;j++) Lx[i]=max(Lx[i], W[i][j]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(true)
            {
                for(int j=1;j<=n;j++) S[j]=T[j]=false;
                if(match(i)) break;
                else update();
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(W[left[i]][i]==-INF) return -1;
            ans += W[left[i]][i];
        }
        return -ans;//注意这里返回的是负值
    }
}KM;

int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            KM.W[i][j]=-INF;
        while(m--)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            KM.W[u][v]=max(KM.W[u][v],-w);//可能存在重边
        }
        printf("%d\n",KM.solve(n));
    }
    return 0;
}