HDU 2853 Assignment(二分图最优匹配:优先用原匹配边)
2014-08-21 20:49
288 查看
HDU 2853 Assignment(二分图最优匹配:优先用原匹配边)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2853
题意:
给定一个二分图,N个点对应M个点,两两之间存在一组关系,每组关系一个权值。题目中了给定了一个匹配方案,现在要求满足这组关系中的最大的匹配权值在原方案上增长了多少?并且还要求出在原匹配方案上改变(最少)多少条边才能够得到这个最大匹配?
分析:
首先如果我们只需要求最大权值匹配,那么这道题是一个左右点集大小不对称的最优匹配问题。这里要注意KM算法模板的修改。
最优权值匹配很好求,直接用KM模板,但是要在原匹配边的基础上使得改变的边最少,这里我们这么处理:
这里由于左边点集有N个点,且M>=N。那么最终的最优匹配必然有N条边。我们让原图中的每条边的权值都乘以(N+1),即扩大N+1倍。且如果某条边本来就是原匹配用的其中一条边,那么该边权值在扩大N+1倍后,再加1。 所以任意一条边的权值只能是N+1的倍数 或
(N+1的倍数)+1,我们将要在这种权值的边中选出N条来(想想如果我们最终在新二分图求出的最优权值和==(N+1)的倍数,那么说明什么?说明我们最优匹配中,一条老边都没有复用.虽然老边的权值有加1的优势
)。
最终我们得到的最优权值和ans除以(N+1)就是最优权值解(因为就算我们原封不动的还用以前的匹配,也就是在所有权值的基础上加了N个1,此时/(N+1),整除归0)。
最终ans%(N+1)就是我们复用旧边的条数(上述两条结论仔细验证)。
下面来论证一下为什么上面的”所有边权值*(N+1),老边还+1”这个策略可行?
假设原图有唯一最优权值的解(即所有其他的匹配方案边的权值总和都要小于该解的权值和)。
那么”所有边权值*(N+1),老边还+1”之后.假设原先次优解的权值只比最优解的权值少1,
且次优解匹配用的都是原匹配边(即操作后次优解权值和增加的最多)
且最优解匹配用的都是原非匹配边(即最优解权值和增加的最少).
就算是这样,操作后,最优解的权值依然正好比次优解权值和大1.
所以如果最优解唯一,我们不会丢失最优解.
下面假设原图最优解方案不唯一,即有多个最优解方案可以得到最优解. 当时我们能肯定 那个用到老边最多的最优解方案 在我们”所有边权值*(N+1),老边还+1”操作后,其权值必然是所有解里面最大的.
即它变成了新的最优解,我们自然选它.
上述两段论证了为什么我们”所有边权值*(N+1),老边还+1”这个操作的可行性.
AC代码:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2853
题意:
给定一个二分图,N个点对应M个点,两两之间存在一组关系,每组关系一个权值。题目中了给定了一个匹配方案,现在要求满足这组关系中的最大的匹配权值在原方案上增长了多少?并且还要求出在原匹配方案上改变(最少)多少条边才能够得到这个最大匹配?
分析:
首先如果我们只需要求最大权值匹配,那么这道题是一个左右点集大小不对称的最优匹配问题。这里要注意KM算法模板的修改。
最优权值匹配很好求,直接用KM模板,但是要在原匹配边的基础上使得改变的边最少,这里我们这么处理:
这里由于左边点集有N个点,且M>=N。那么最终的最优匹配必然有N条边。我们让原图中的每条边的权值都乘以(N+1),即扩大N+1倍。且如果某条边本来就是原匹配用的其中一条边,那么该边权值在扩大N+1倍后,再加1。 所以任意一条边的权值只能是N+1的倍数 或
(N+1的倍数)+1,我们将要在这种权值的边中选出N条来(想想如果我们最终在新二分图求出的最优权值和==(N+1)的倍数,那么说明什么?说明我们最优匹配中,一条老边都没有复用.虽然老边的权值有加1的优势
)。
最终我们得到的最优权值和ans除以(N+1)就是最优权值解(因为就算我们原封不动的还用以前的匹配,也就是在所有权值的基础上加了N个1,此时/(N+1),整除归0)。
最终ans%(N+1)就是我们复用旧边的条数(上述两条结论仔细验证)。
下面来论证一下为什么上面的”所有边权值*(N+1),老边还+1”这个策略可行?
假设原图有唯一最优权值的解(即所有其他的匹配方案边的权值总和都要小于该解的权值和)。
那么”所有边权值*(N+1),老边还+1”之后.假设原先次优解的权值只比最优解的权值少1,
且次优解匹配用的都是原匹配边(即操作后次优解权值和增加的最多)
且最优解匹配用的都是原非匹配边(即最优解权值和增加的最少).
就算是这样,操作后,最优解的权值依然正好比次优解权值和大1.
所以如果最优解唯一,我们不会丢失最优解.
下面假设原图最优解方案不唯一,即有多个最优解方案可以得到最优解. 当时我们能肯定 那个用到老边最多的最优解方案 在我们”所有边权值*(N+1),老边还+1”操作后,其权值必然是所有解里面最大的.
即它变成了新的最优解,我们自然选它.
上述两段论证了为什么我们”所有边权值*(N+1),老边还+1”这个操作的可行性.
AC代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=50+10; struct Max_Match { int n,m; int W[maxn][maxn],Lx[maxn],Ly[maxn]; bool S[maxn],T[maxn]; int left[maxn]; bool match(int i) { S[i]=true; for(int j=1;j<=m;j++)if(Lx[i]+Ly[j]==W[i][j] && !T[j]) { T[j]=true; if(left[j]==-1 || match(left[j])) { left[j]=i; return true; } } return false; } void update() { int a=1<<30; for(int i=1;i<=n;i++)if(S[i]) for(int j=1;j<=m;j++)if(!T[j]) a = min(a,Lx[i]+Ly[j]-W[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) if(S[i]) Lx[i] -=a; for(int j=1;j<=m;j++) if(T[j]) Ly[j] +=a; } int solve(int n,int m) { this->n=n; this->m=m; memset(left,-1,sizeof(left)); memset(Lx,0,sizeof(Lx)); memset(Ly,0,sizeof(Ly)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) Lx[i]=max(Lx[i], W[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) { while(true) { memset(S,0,sizeof(S)); memset(T,0,sizeof(T)); if(match(i)) break; else update(); } } int ans=0; for(int i=1;i<=m;i++)if(left[i]!=-1) ans += W[left[i]][i]; return ans; } }KM; int W[maxn][maxn]; int main() { int n,m; while(scanf("%d%d",&n,&m)==2) { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) { scanf("%d",&W[i][j]); KM.W[i][j] = W[i][j]*(n+1); } int old_val=0; for(int i=1;i<=n;i++) { int j; scanf("%d",&j); old_val += W[i][j]; ++KM.W[i][j]; } int ans = KM.solve(n,m); printf("%d %d\n",n-ans%(n+1),ans/(n+1)-old_val); } return 0; }
相关文章推荐
- HDU 2853 Assignment(二分图最优匹配)
- HDU-2853 Assignment【二分图最优匹配】
- HDU 2853 Assignment【二分图最优匹配+巧妙权值】
- HDU 3315 My Brute(二分图最优匹配:优先用原匹配边)
- HDU 3315 My Brute(二分图最优匹配:优先用原匹配边)
- hdu 2255 二分图—最优匹配
- hdu 2853 Assignment(最大权值匹配)
- HDU 2255 奔小康赚大钱(二分图最优匹配)
- hdu 1533 KM算法 二分图最优匹配
- HDU-2853 Assignment 最大权值匹配+简直是太神了
- HDU 3722 Card Game(二分图最优匹配)
- HDU 3435 A new Graph Game(二分图最优匹配:有向环覆盖)
- HDU 3395 Special Fish(二分图中最优匹配)
- Assignment (HDU 2853 最大权匹配KM)
- hdu 2255 奔小康赚大钱(二分图的最优匹配)
- HDU 1853 Cyclic Tour(二分图最优匹配) 解题报告
- hdu 3722 二分图 最优完备匹配 KM算法
- HDU 2255 奔小康赚大钱(二分图最优匹配:模板题)
- HDU 2426 Interesting Housing Problem(二分图最优匹配)
- HDU-2813 One fihgt one【二分图最优匹配】