UVa 10428 The Roots,牛顿迭代法
2014-08-21 20:40
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UVa 10428 The Roots
题意:
给定一个一元n次方程,求出所有解。(由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根)
题解:
牛顿迭代法
通过牛顿迭代法每次都可以求出多项式的一个根,即方程的一个解x',
然后由 n次一元多项式 =(x-x')*(n-1次一元多项式)
计算出这个 n-1次一元多项式,即计算其系数
令 bn+1 = 0
bn = bn+1 * x' + an
bn-1 = bn*x' + an-1
........
b2 = b3*x' + a2
b1 = b2*x' + a1
b0 = b1*x' + a0
得这个n-1次一元多项式的系数列表 {bn, bn-1,...,b1}。
然后重复上面的操作,就可以把一元n次方程的n个解都找出来。
题意:
给定一个一元n次方程,求出所有解。(由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根)
题解:
牛顿迭代法
通过牛顿迭代法每次都可以求出多项式的一个根,即方程的一个解x',
然后由 n次一元多项式 =(x-x')*(n-1次一元多项式)
计算出这个 n-1次一元多项式,即计算其系数
令 bn+1 = 0
bn = bn+1 * x' + an
bn-1 = bn*x' + an-1
........
b2 = b3*x' + a2
b1 = b2*x' + a1
b0 = b1*x' + a0
得这个n-1次一元多项式的系数列表 {bn, bn-1,...,b1}。
然后重复上面的操作,就可以把一元n次方程的n个解都找出来。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<cstdio> #include<map> #include<string> using namespace std; int N; double a[10], b[10], fd[10]; //f(x) = gn*x^n + gn-1 * x^n-1 + ... + g0 double Function(double* g, double x, int n) { double ret = 0, u = 1; for(int i=0; i<=n; ++i) { ret += g[i]*u; u *= x; } return ret; } double Newton(int n) { for(int i=0; i<n; ++i) fd[i] = a[i+1] * (i+1); //求导 double x = -100; //根的范围 abs(root)<25 for(int i=0; i<100; ++i) //迭代 x = x - Function(a, x, n) / Function(fd, x, n-1); return x; } void NewPoly(double x, int n) { b[n+1] = 0; for(int i=n; i>=0; --i) b[i] = b[i+1]*x + a[i]; for(int i=0; i<n; ++i) { a[i] = b[i+1]; } } void solve() { for(int i=0; i<N; ++i) { double x = Newton(N-i); printf(" %.4f", x); NewPoly(x, N-i); } } int main() { int cas = 1; while(~scanf("%d",&N)&&N) { for(int i=N; i>=0; --i) scanf("%lf", &a[i]); printf("Equation %d:",cas++); solve(); printf("\n"); } return 0; }
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