计算几何算法基础————判断点是否在线段上（另附叉积的重要应用，折线段的拐向判断）

参考资料：《ACM/ICPC程序设计与分析》

判断点在线段上这个算法非常的简单，只要学过叉乘（CrossProduct）就很容易搞定

设点为Q，线段为P1P2，判断点Q是否在P1P2上。

算法依据：

1.点Q首先要在P1P2所在的直线上。

比较原始的办法是利用P1P2的坐标做出直线方程，然后代入点Q看是否满足方程，这样代码稍微麻烦些。

简单点就是用叉乘，如果点Q在P1P2直线上，那么：

P1Q x P1P2 = 0（x代表叉乘）

这个代码实现很容易。

P x Q = P.x * Q.y - P.y * Q.x（交叉相乘)PS:叉积的结果还是一个向量，二维向量的叉积是垂直于两个向量形成的平面的一个向量。这行公式实际上求的是标量。

2.Q要在以P1P2为对角线的平行矩形内

这个就更简单了,做一下比较即可

下面给出伪代码：

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">bool  On_Segment(Point P1,Point P2,Point Q)
{
int condition1 = condition2 = 0
if(CrossProduct(P1Q,P1P1) == 0)//条件1
condition1 = 1;
if((min(P1.x,P2.x) <= Q.x) && (Q.x <= max(P1.x,P2.x)) &&
(min(P1.y,P2.y) <= Q.y) && (Q.y <= max(P1.y,P2.y)))//条件2
condition2 = 1;
if(condition1 && condition2)
return true;
else
return false;
}</span>

这里在说一下矢量叉乘的一个重要应用！
如果给出三点ABC，其位置关系如下：



给出求AB x AC叉乘的伪代码

<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">double CrossProduct(Point A,Point B,Point C)
{
return (B.x - A.x) * (C.y - A.y) - (C.x - A.x) * (B.y - A.y);
}
</span>

有了这些基础，就可以对折线段的拐向进行判断

对于有公共端点的线段AB,BC，通过计算AB x AC可以确定AB的拐向



图示情况为AB x AC > 0 即AB在B点向左侧拐向C



图示情况为AB x AC < 0 即AB在B点拐向右侧后到C

不要忘了AB x AC == 0 的情况，此时ABC共线。