对比三维空间旋转的几种方法——欧拉角、绕轴的旋转、矩阵、四元数、双四元数

对比三维空间旋转的几种方法——欧拉角、绕轴的旋转、矩阵、四元数、双四元数

三维空间的旋转可以用欧拉角，旋转矩阵，轴-角，四元数，双四元数来表示，本文主要总结这些表示方法的优缺点。像矩阵、四元数等的实现的下载地址，可以参考这里，也可以参考Ogre渲染引擎的内核，都有很高效的实现方法。

一． 欧拉角（Euler-Angles）

1.1 介绍

欧拉角包括3个旋转，根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴，y轴和z轴，分别称为Pitch，Yaw和Roll，如下图所示。欧拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋转的顺序影响结果。



Pitch



Yaw



Roll

图1. 欧拉角的表示

欧拉角很重要的一个优点就是直观，容易理解。

欧拉角主要有下面几个缺点：

（1） 欧拉角是不可传递的，旋转的顺序影响旋转的结果，不同的应用又可能使用不同的旋转顺序，旋转顺序无法统一；

（2） 3个旋转的角度可以不受限制，即可以是10000度，也可以是-1500度；

（3） 可能造成万向节死锁（Gimbal Lock）。

1.2 平万向节死锁

当两个环发生重叠的时候，就有丢失了一个自由度，如图2所示。对万向节死锁可以参考【1】【2】【3】，特别是【1】提供的视频，对知识点的介绍非常的形象生动。也正是由于锁的存在，无法使用欧拉角实现球面平滑的插值。



图2. 万向节死锁

二． 旋转矩阵

用3*3的矩阵，可以表示三维空间中所有的旋转，设 θ 表示沿着轴的方向望去时，方向是顺时针的旋转角度。则绕着X轴、Y轴、Z轴旋转 θ 角，对应的旋转矩阵表示如下所示：

X=⎛⎝⎜1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎞⎠⎟ Y=⎛⎝⎜cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎞⎠⎟ Z=⎛⎝⎜cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎞⎠⎟

旋转矩阵支持传递性，使用起来很简单方便，但是存在下面一些缺点：

（1） 浪费内存，至少需要12个参数，来表示一个6个自由度的结构；

（2） 可能就引入不该有的缩放（Scaling）和错切（Sheering）

（3） 矩阵插值的实现难度很大；

（4） 不直观。

三． 轴-角度

绕着单位长度的轴旋转某个角度，使用组合对 (n⃗ ,θ) 。

该方向很直观，避免了欧拉角使用时的万向节死锁；但是实现多个旋转的组合时，比较困难；不能简单的通过对4个元素的线性插值来实现轴-角度的插值，会引起错误。

四． 四元数

参考《四元数》和《双四元数》，也可以参考【5】【6】【7】，这里只简单的描述下该方法的优缺点。

它的缺点就是很不直观，理解起来较费劲。但是存在很多优点：

（1） 更健壮，不会出现欧拉角中出现的万向节死锁。

（2） 更高效，花费更少的空间和时间；当使用有限的精度对矩阵进行大量的操作，就会发生漂移（Drift），实数的四舍五入就会不断累积到矩阵中。由于漂移的存在，旋转的操作就可能发生错误，所以要对矩阵进行归一化操作，重置矩阵，这是很费时的操作。四元数只有4个值，而矩阵有9个，它经历的漂移作用就小，而且归一化时间就更少。

（3） 使用起来很简单

五． 双四元数

双四元数，参考《双四元数》一文。简单来说，就是它使用了两个四元数，8个参数，不仅可以表示旋转，也可以表示位移。

六． 参考

【1】 http://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html

【2】 http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2008/03/24/1118996.html

【3】 http://www.cnitblog.com/luckydmz/archive/2010/09/07/68674.aspx

【4】 Kenwright, Ben. "A Beginners
Guide to Dual-Quaternions."

【5】 http://www.cprogramming.com/tutorial/3d/quaternions.html

【6】 http://isg.cs.tcd.ie/projects/DualQuaternions/

【7】 http://www.gamedev.net/page/resources/_/technical/math-and-physics/quaternion-powers-r1095