poj 3358 Period of an Infinite Binary Expansion(数论：欧拉函数+快速幂取模)

不太好理解题意的一道题

给出一个除式

要求找到对应二进制的循环起点和最小循环节长度

这里还考察了分数化小数的知识点。。。

这点不会难怪看题解都觉得很吃力


1/10

分数化小数的规律如下：

0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 1.2 0.4（每次取左侧一位×2，如果大于10，小数位取1，再把这一位%10）

0 0 0
0 1 1 0

以1/10为例：1/10 2/10 4/10 8/10 16/10 32/10 64/10....

取模后：1/10 2/10 4/10 8/10 6/10 2/10 4/10
这不就是个循环吗？循环节为4，循环起点为2，正好与题目相符。。如何去找循环节和循环起点？
由于是二进制，所以分子可以表示为2^x,而模数即q
2^x=2^y(mod q)，2^x(2^(y-x)-1)=0(mod q)，即p|2^x(2^(y-x)-1)
因为x^(y-1)-1为奇数，所以p|2^x
首先把q尽量整除2直到不能整除为止，这个步骤的次数就是满足原式最小的x，并得到q'。
2^(y-x)=1(mod q')
根据欧拉定理，t=y-x=phi(q')满足此式。
因为2^phi(q')和q'的最大公约数可能不为1
所以不一定是最小值，需要枚举phi(q')约数。
用int交就WA，用long long就过了
代码如下：

<span style="font-size:18px;">#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

char str[100];
vector<LL> vec;

LL gcd(LL a, LL b) {
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

LL euler_phi(LL n) {
LL ans = n;
LL m = sqrt(n+0.5);
for(LL i=2; i<=m; ++i) {
if(n%i == 0) {
n /= i;
ans = ans/i*(i-1);
while(n%i == 0)
n /= i;
}
}
if(n > 1)
ans = ans/n*(n-1);
return ans;
}

void get_fac(LL n) {
LL m = sqrt(n+0.5);
for(LL i=1; i<=m; ++i) {
if(n%i == 0) {

vec.push_back(i);
if(n/i != i)
vec.push_back(n/i);

}
}
}

LL pow_mod(LL a, LL b, LL m) {
LL ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) {
ans = ans*a%m;
}
a = a*a%m;
b >>= 1;
}
return ans%m;
}

int main(void) {
char ch;
LL cas = 0, tmp, x, y, p, q;
while(scanf("%s", str) != EOF) {
vec.clear();
sscanf(str, "%lld%c%lld", &p, &ch, &q);
if(!p) {
printf("Case #%lld: 1,1\n", ++cas);
continue;
}
//printf("p = %d\tq = %d\n", p, q);
tmp = gcd(p, q);
p /= tmp;
q /= tmp;
x = 1;
while(q % 2 == 0) {
q >>= 1;
++x;
}
tmp = euler_phi(q);

get_fac(tmp);
sort(vec.begin(), vec.end());
for(int i=0; i<vec.size(); ++i) {
if(pow_mod(2, vec[i], q) == 1) {
y = vec[i];
break;
}
}
printf("Case #%lld: %lld,%lld\n", ++cas, x, y);
}
return 0;
}</span>