【模版】并查集 及路径压缩

Ps：在网上看到的写的很好的并查集

并查集（Union-find Sets）是一种非常精巧而实用的数据结构，它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的 Kruskal 算法和求最近公共祖先（Least Common Ancestors, LCA）等。

使用并查集时，首先会存在一组不相交的动态集合 S={S 1 ,S 2 ,⋯,S k } ，一般都会使用一个整数表示集合中的一个元素。

每个集合可能包含一个或多个元素，并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的，具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是，对于给定的元素，可以很快的找到这个元素所在的集合（的代表），以及合并两个元素所在的集合，而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。

并查集的基本操作有三个：

makeSet(s)：建立一个新的并查集，其中包含 s 个单元素集合。
unionSet(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。
find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。

并查集的实现原理也比较简单，就是使用树来表示集合，树的每个节点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表，如图 1 所示。



图 1 并查集的树表示
图中有两棵树，分别对应两个集合，其中第一个集合为 {a,b,c,d} ，代表元素是a ；第二个集合为{e,f,g} ，代表元素是e 。

树的节点表示集合中的元素，指针表示指向父节点的指针，根节点的指针指向自己，表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找，最终就可以找到该树的根节点，即该集合的代表元素。

现在，应该可以很容易的写出 makeSet 和 find 的代码了，假设使用一个足够长的数组来存储树节点（很类似之前讲到的静态链表），那么 makeSet 要做的就是构造出如图 2 的森林，其中每个元素都是一个单元素集合，即父节点是其自身：



图 2 构造并查集初始化
相应的代码如下所示，时间复杂度是 O(n) ：

const int MAXSIZE = 500;

int uset[MAXSIZE];

void makeSet(int size) {

for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = i;

}

接下来，就是 find 操作了，如果每次都沿着父节点向上查找，那时间复杂度就是树的高度，完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。

路径压缩，就是在每次查找时，令查找路径上的每个节点都直接指向根节点，如图 3 所示。



图 3 路径压缩
我准备了两个版本的 find 操作实现，分别是递归版和非递归版，不过两个版本目前并没有发现有什么明显的效率差距，所以具体使用哪个完全凭个人喜好了。

int find(int x) {

if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);

return uset[x];

}

int find(int x) {//查找根节点

int p = x, t;

while (uset[p] != p) p = uset[p];//返回根节点；

while (x != p) { t = uset[x]; uset[x] = p; x = t; }//路径压缩

return x;

}

最后是合并操作 unionSet，并查集的合并也非常简单，就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根，如图 4 所示。



图 4 并查集的合并
这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说，就是总是将比较矮的树作为子树，添加到较高的树中。为了保存秩，需要额外使用一个与 uset 同长度的数组，并将所有元素都初始化为 0。

void unionSet(int x, int y) {

if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;

if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;

else {

uset[x] = y;

if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++;

}

}

下面是按秩合并的并查集的完整代码，这里只包含了递归的 find 操作。

const int MAXSIZE = 500;

int uset[MAXSIZE];

int rank[MAXSIZE];

void makeSet(int size) {

for(int i = 0;i < size;i++)  uset[i] = i;

for(int i = 0;i < size;i++)  rank[i] = 0;

}

int find(int x) {

if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);

return uset[x];

}

void unionSet(int x, int y) {

if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;

if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;

else {

uset[x] = y;

if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++;

}

}

除了按秩合并，并查集还有一种常见的策略，就是按集合中包含的元素个数（或者说树中的节点数）合并，将包含节点较少的树根，指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似，同样可以提升并查集的运行速度，而且省去了额外的 rank 数组。

这样的并查集具有一个略微不同的定义，即若 uset 的值是正数，则表示该元素的父节点（的索引）；若是负数，则表示该元素是所在集合的代表（即树根），而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示，同样包含递归和非递归的 find 操作：

const int MAXSIZE = 500;

int uset[MAXSIZE];

void makeSet(int size) {

for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = -1;

}

int find(int x) {

if (uset[x] < 0) return x;

uset[x] = find(uset[x]);

return uset[x];

}

int find(int x) {

int p = x, t;

while (uset[p] >= 0) p = uset[p];

while (x != p) {

t = uset[x];

uset[x] = p;

x = t;

}

return x;

}

void unionSet(int x, int y) {

if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;

if (uset[x] < uset[y]) {

uset[x] += uset[y];

uset[y] = x;

} else {

uset[y] += uset[x];

uset[x] = y;

}

}

如果要获取某个元素 x 所在集合包含的元素个数，可以使用 -uset[find(x)] 得到。

并查集的空间复杂度是 O(n)
的，这个很显然，如果是按秩合并的，占的空间要多一些。find 和 unionSet 操作都可以看成是常数级的，或者准确来说，在一个包含
n
个元素的并查集中，进行 m
次查找或合并操作，最坏情况下所需的时间为 O(mα(n)) ，这里的α
是
Ackerman 函数的某个反函数，在极大的范围内（比可观察到的宇宙中估计的原子数量 10 80
还大很多）都可以认为是不大于 4 的。具体的时间复杂度分析，请参见《算法导论》的 21.4 节 带路径压缩的按秩合并的分析。

作者：CYJB

出处：http://www.cnblogs.com/cyjb/

GitHub：https://github.com/CYJB/

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附上另一种比较搞笑的讲法

为了解释并查集的原理，我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。
http://i3.6.cn/cvbnm/6f/ec/f4/1e9cfcd3def64d26ed1a49d72c1f6db9.jpg


下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。
find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。

int find(int x) //查找我（x）的掌门

{

int r=x; //委托 r 去找掌门

while (pre[r ]!=r) //如果r的上级不是r自己（也就是说找到的大侠他不是掌门 = =）

r=pre[r ] ; // r 就接着找他的上级，直到找到掌门为止。

return r ; //掌门驾到~~~

}

再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？

void join(int x,int y) //我想让虚竹和周芷若做朋友

{

int fx=find(x),fy=find(y);
//虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝

if(fx!=fy) //玄慈和灭绝显然不是同一个人

pre[fx ]=fy; //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
}