经典智力题：火车运煤
2014-08-14 07:46
246 查看
题目描述如下：
你是一个煤老板，你在矿区开采了3000吨煤，需要运送到市场上去卖，从你的矿区到市场有1000公里，你手里有一列以煤为动力的火车，这个火车一次最多能运1000吨煤，火车每公里消耗一吨煤。问如何运送才能运最多的煤到集市？
========== -.- ==========
思考时间
========== -.- ==========
从题中很容易能看出一个矛盾：路程是1000公里，最多运1000吨煤，显然不能直接走。如果直接走的话，不仅没有煤能送过去，而且还会剩下一大堆煤在原地。所以肯定是要把原地的煤全都利用起来。所以需要设立中转站。那么问题就变成了需要几个中转站，各在什么位置？
先从简单入手，首先先在正中间位置，即500公里处设一个中转站，看看有没有什么效果。为了达到"运最多的煤到终点"的目的，肯定是不应该有煤留在原地的。所以一开始肯定是要把煤都拿出来，因为一共有3000吨煤，所以第一次搬1000吨出发，到了500公里处剩下500，但是为了能够回去，500吨煤必须全部带回去。所以第一趟白费力气，浪费了1000吨。第二个1000吨也是如此。运第三个1000吨的时候，由于不需要再回去，所以现在得情况是，火车有500吨煤，离终点500公里。所以这样的中转站没有任何用处，最后能运的煤是0。
但是上述的想法还是能有很多启发的。从题面可以看出，必须设立中转站，而从上述失败的运送办法中可以看出：设立中转站的目的是，我们得让所有煤不断地靠近终点。虽然来回跑更费煤，但是煤总量十分过剩，而运载量有限，所以要以"来回跑"的方式让煤不断接近终点。
我们还要明确一点：假如路上一共有N个中转站，我们首先要在起点和第一个中转站来回跑直到运空煤，然后在第一二个中转站之间来回跑，直到把煤运空。跨站运煤并不会更优，跨站是一样的或者更加浪费。那么一个完美的试探方案就出来了：既然不跨站，那就直接观察当前状态，如果火车与终点之间加上中转站会更优，那就加上去，否则直接走。
那么我们将中转站设在400公里处呢？第一趟来回消耗800吨，中转站留下200吨。第二趟来回消耗800，中转站留下200吨。第三趟直接过来，到达中转站还剩600吨。现在火车离终点600公里，且火车所属的中转站有1000吨煤。直接出发，最后成功运送400吨到终点站。
一开始由于距离足够远，显然是要来回跑让所有煤更靠近终点，当距离不太远时就得做出选择了：来回跑以搬运所有煤，还是一次性带上尽可能多的煤直接走。设距离为X公里。当前煤有R吨。
当R<=1000，显然是直接走。
当1000<R<=2000时，要走3趟（过去、回来、过去），很容易能写出公式：(1000-2x) + (R-1000)-x > 1000-x，解得X<(R-1000)/2时来回跑更优，否则带上1000吨直接走。
当2000<R<=3000时，要走5趟，解得当X<(R-1000)/4时来回跑，否则带上1000吨直接走。
当我们每隔250米设一个中转站时，最后能运送的煤是500吨。这是我当时以为的最优结果了。
当时脑袋没有转过来，过了好久才找到比500还要大的方案。靠直觉来猜测中转站的位置和数量，从而慢慢得到最优解显然不是什么好主意。我们知道来回跑太费煤，所以能不来回跑就不来回跑。初始化煤有3000吨，第一回合肯定是5趟来回，设运了X公里。X显然<500（参考上文的第一想法），所以第一回合结束后剩下的距离>=500米。所以如果有更优解，第二回合肯定不是直接走。那么至少还会有第二个中转站了。这个时候的思路非常关键，我们需要先判断一回合后的剩余煤量然后才能依次做出最优选择。
①假设一回合后剩余煤<=1000吨。那么第二回合直接走，方程如下：
y = Max[3000-5x-(1000-x)] = 2000-4x
因为3000-5x<=1000，所以x>=400，所以y<=400
②假设一回合后剩余煤量依旧>2000
如果是这种情况，说明第一回合走的路相当短。我们知道，当结果>2000吨时，中间过程分一次还是多次是一样的。比如第一回合走了100公里，剩余煤2500吨，这和分别走两个50公里或4个25公里是相同的。若剩余2000吨以上火车还是要继续5趟5趟的搬运，所以我们直接把多段合并成一段，一样的。所以我们不考虑情况②
③假设一回合后剩余煤量在1000吨和2000吨之间
通过情况2的分析，我们发现其实只会有①③两种情况。我们还发现，当R处于同一大段的时候，多次和一次的结果是相同的。所以情况③我们也是不断的运煤直到煤量剩余1000吨，然后直接走。
这样看来就是3回合了。
第一回合运了2000吨煤到中转站，消耗1000吨，因为5x=1000，所以第一回合走了200米。
第二回合运了1000吨煤到中转站，消耗1000吨煤，因为3x=1000，所以第二回合走了1000/3米。
第三回合带着1000吨煤直接走，经过前面的运送，还剩下1000-200-1000/3=1400/3公里，所以最终剩余1000-1400/3=1600/3≈533吨。
由于是边思考边写博客，思路可能有点乱 -.-
你是一个煤老板，你在矿区开采了3000吨煤，需要运送到市场上去卖，从你的矿区到市场有1000公里，你手里有一列以煤为动力的火车，这个火车一次最多能运1000吨煤，火车每公里消耗一吨煤。问如何运送才能运最多的煤到集市？
========== -.- ==========
思考时间
========== -.- ==========
从题中很容易能看出一个矛盾：路程是1000公里，最多运1000吨煤，显然不能直接走。如果直接走的话，不仅没有煤能送过去，而且还会剩下一大堆煤在原地。所以肯定是要把原地的煤全都利用起来。所以需要设立中转站。那么问题就变成了需要几个中转站，各在什么位置？
先从简单入手，首先先在正中间位置，即500公里处设一个中转站，看看有没有什么效果。为了达到"运最多的煤到终点"的目的，肯定是不应该有煤留在原地的。所以一开始肯定是要把煤都拿出来，因为一共有3000吨煤，所以第一次搬1000吨出发，到了500公里处剩下500，但是为了能够回去，500吨煤必须全部带回去。所以第一趟白费力气，浪费了1000吨。第二个1000吨也是如此。运第三个1000吨的时候，由于不需要再回去，所以现在得情况是，火车有500吨煤，离终点500公里。所以这样的中转站没有任何用处，最后能运的煤是0。
但是上述的想法还是能有很多启发的。从题面可以看出，必须设立中转站，而从上述失败的运送办法中可以看出：设立中转站的目的是，我们得让所有煤不断地靠近终点。虽然来回跑更费煤，但是煤总量十分过剩，而运载量有限，所以要以"来回跑"的方式让煤不断接近终点。
我们还要明确一点：假如路上一共有N个中转站，我们首先要在起点和第一个中转站来回跑直到运空煤，然后在第一二个中转站之间来回跑，直到把煤运空。跨站运煤并不会更优，跨站是一样的或者更加浪费。那么一个完美的试探方案就出来了：既然不跨站，那就直接观察当前状态，如果火车与终点之间加上中转站会更优，那就加上去，否则直接走。
那么我们将中转站设在400公里处呢？第一趟来回消耗800吨，中转站留下200吨。第二趟来回消耗800，中转站留下200吨。第三趟直接过来，到达中转站还剩600吨。现在火车离终点600公里，且火车所属的中转站有1000吨煤。直接出发，最后成功运送400吨到终点站。
一开始由于距离足够远，显然是要来回跑让所有煤更靠近终点，当距离不太远时就得做出选择了：来回跑以搬运所有煤，还是一次性带上尽可能多的煤直接走。设距离为X公里。当前煤有R吨。
当R<=1000，显然是直接走。
当1000<R<=2000时，要走3趟（过去、回来、过去），很容易能写出公式：(1000-2x) + (R-1000)-x > 1000-x，解得X<(R-1000)/2时来回跑更优，否则带上1000吨直接走。
当2000<R<=3000时，要走5趟，解得当X<(R-1000)/4时来回跑，否则带上1000吨直接走。
当我们每隔250米设一个中转站时，最后能运送的煤是500吨。这是我当时以为的最优结果了。
当时脑袋没有转过来，过了好久才找到比500还要大的方案。靠直觉来猜测中转站的位置和数量，从而慢慢得到最优解显然不是什么好主意。我们知道来回跑太费煤，所以能不来回跑就不来回跑。初始化煤有3000吨，第一回合肯定是5趟来回，设运了X公里。X显然<500（参考上文的第一想法），所以第一回合结束后剩下的距离>=500米。所以如果有更优解，第二回合肯定不是直接走。那么至少还会有第二个中转站了。这个时候的思路非常关键，我们需要先判断一回合后的剩余煤量然后才能依次做出最优选择。
①假设一回合后剩余煤<=1000吨。那么第二回合直接走，方程如下：
y = Max[3000-5x-(1000-x)] = 2000-4x
因为3000-5x<=1000，所以x>=400，所以y<=400
②假设一回合后剩余煤量依旧>2000
如果是这种情况，说明第一回合走的路相当短。我们知道，当结果>2000吨时，中间过程分一次还是多次是一样的。比如第一回合走了100公里，剩余煤2500吨，这和分别走两个50公里或4个25公里是相同的。若剩余2000吨以上火车还是要继续5趟5趟的搬运，所以我们直接把多段合并成一段，一样的。所以我们不考虑情况②
③假设一回合后剩余煤量在1000吨和2000吨之间
通过情况2的分析，我们发现其实只会有①③两种情况。我们还发现，当R处于同一大段的时候，多次和一次的结果是相同的。所以情况③我们也是不断的运煤直到煤量剩余1000吨，然后直接走。
这样看来就是3回合了。
第一回合运了2000吨煤到中转站，消耗1000吨，因为5x=1000，所以第一回合走了200米。
第二回合运了1000吨煤到中转站，消耗1000吨煤，因为3x=1000，所以第二回合走了1000/3米。
第三回合带着1000吨煤直接走，经过前面的运送，还剩下1000-200-1000/3=1400/3公里，所以最终剩余1000-1400/3=1600/3≈533吨。
由于是边思考边写博客，思路可能有点乱 -.-
内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理 