LeetCode | Sqrt(x)

Implement

int
sqrt(int x)

.

题目解析：

求开方根，只是求解整数，比较容易，如果求解double类型的，就要考虑精度问题。

题型一：求整数根

先讲解求解整数根的情况。

题目简单，可以直接让i从0...x的增加，比如要能取到x不然，x为2的时候，根据实现会报错。某些时候也可以更精确到x/2。但由于是递增，不用考虑那么详细。

不过这里会碰到问题，就是越界的问题，有些时候，用long long都不好用，还得用unsigned long long才行，如下面：

方案一：

采用二分法：

int sqrt(int x) {
// Start typing your C/C++ solution below
// DO NOT write int main() function
unsigned long long begin = 0;
unsigned long long end = (x+1)/2;
unsigned long long mid;
unsigned long long tmp;
while(begin < end)
{
mid = begin + (end-begin)/2;
tmp = mid*mid;
if(tmp==x)return mid;
else if(tmp<x) begin = mid+1;
else end = mid-1;
}
tmp = end*end;
if(tmp > x)
return end-1;
else
return end;
}

方案二：

但是为什么非要用相乘呢？通过判断mid > x/mid等条件也能得到相应答案。这样就避免了大数相乘的问题。代码如下：

class Solution {
public:
int sqrt(int x) {
if(x < 0)
return -1;
if(x==0 || x==1)
return x;
for(int i = 1;i <= x;i++){
if(i == x/i){
return i;
}else if(i > x/i)
return i-1;
}
}
};

这个方法能很好的扩展到其他问题，应该记住。

方案三：

这就涉及到用几何问题去解决。但这个里面用double类型的数当中间值，来精确求解。

牛顿迭代法

为了方便理解，就先以本题为例：

计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi -
f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi -
xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi +
n/xi) / 2。

有了迭代公式xi+1= (xi + n/xi)
/ 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

int sqrt(int x) {
// Start typing your C/C++ solution below
// DO NOT write int main() function
if (x ==0)
return 0;
double pre;
double cur = 1;
do
{
pre = cur;
cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;
} while (abs(cur - pre) > 0.00001);
return int(cur);
}

题型二：double型平方根

方案一：

对于小数有个精度的问题，那么定义0.000001范围内就认为两个数相等。

public double sqrt(double x) {
if (x < 0) return -1;
double left  = 0;
double right = (x < 1) ? 1 : x;
double maxDiff = 0.000001;
do {
double mid = left + (right - left) / 2;
if (Math.abs(x - mid * mid) <= maxDiff) {
return mid;
} else if (x - mid * mid < 0) {
right = mid;
} else {
left = mid;
}
} while (true);
}

可以参考链接：/article/9448877.html

里面有好几种方法。