设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若AB=0，证明：r(A)+r(B)≤n
2014-08-11 10:08
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证: 将B按列分块为 B=(b1,...,bs)
因为 AB=0
所以 A(b1,...,bs) = (Ab1,...,Abs)=0
所以 Abi=0, i=1,...,s
即 B 的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解向量
所以B的列向量组可由 AX=0 的基础解系线性表示
而 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = n-r 个向量
所以 r(B) <= n-r.
所以r(A)+r(B)<=n
因为 AB=0
所以 A(b1,...,bs) = (Ab1,...,Abs)=0
所以 Abi=0, i=1,...,s
即 B 的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解向量
所以B的列向量组可由 AX=0 的基础解系线性表示
而 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = n-r 个向量
所以 r(B) <= n-r.
所以r(A)+r(B)<=n
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