POJ3716-Panda's Birthday Present题解

题目大意：

四个骰子，每个骰子的六面随机印有0或1，每一次投掷，记录1的个数。现已知道前两次1的个数，求第三次投掷出现1的个数的期望。

样例：

Simple input

2 2

Simple output

2.000

Simple input

4 4

Simple output

2.571

算法分析：

    这是一道条件概率的简单题，只要掌握条件概率的公式，基本就能得到结果，但是对于像我这种战斗力为0的渣渣，对着题解硬是看了好几天，才推出了最后的结果。所以我觉得很有必要写一片详细的题解。

1、由于4个骰子是相互独立的，所以可以分开计算。假设每个骰子再次出现1的期望为Ei，那么对于总的期望E=sum（Ei|i=[1,4]）；

2、针对每一个骰子，前两次出现的可能情况共有四种（00）（01）（10）（11），只要分别计算就行；

3、现在就以（11）为例，计算P（X=1|X=11）：

P（X=1|X=11）= sum（P（X=1|T=t）* P（T=t|X=11））

P（X=1|T=t）= t / 6

P（T=t|X=11）= P（X=11|T=t）*P（T=t）/ P（X=11）

P（X=11|T=t）= （t / 6）^2

P（T=t）= C（6，t）/ 2^6 = C（6，t）/ 64

P（X=11）= sum（P（X=11|T=t）*P(T=t)）

那么P（X=1|X=11） = sum（P（X=1|T=t）* P（T=t|X=11））

                   = sum（P（X=1|T=t） * P（X=11|T=t）*P(T=t) / P（X=11））

                   = sum（P（X=111|T=t）* P（T=t））/ sum（P（X=11|T=t）*P(T=t)）

接下来直接笔算出结果：

E（111）= P（X=1|X=11）

得：E（001）= 5 / 14

    E（011）= E（101）= 1 / 2

    E（111）= 9 / 14

问题到这里似乎可以完美解决了，接下来只要穷举每个骰子出现的情况就可以得到结果。

但还有没有更简单的计算方法呢？？？

答案是肯定的：

现在，我们不妨设G（0）为0对与结果的贡献率，G（1）为1对结果的贡献率：

求解：E（001）= G（0）* 2

      E（101）= E（011）= G（1）+G（0）

      E（111）= G（1）* 2

求解此方程组可知G（0）= 5 / 28；G（1）= 9 / 28

即无论前两次的情况如何，其中每出现一次1，那么结果就会增加G（1）。并且，该式子恒成立。那么，原问题就变为（M+N）*G（1）+ （8-M-N）*G（0）= （M+N+10）/ 7。