【算法小总结】母函数模板

研究以下多项式乘法：



可以看出：

x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2，
…an中取两个组合的全体；

同理：x3项系数包含了从n个元素a1，a2，
…an中取3个元素组合的全体；

以此类推。 

特例：

若令a1=a2=
…=an=1，在（8-1）式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：



母函数定义：

对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：



n称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数
 

实例分析

例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？ 

如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。

如果用x的指数表示称出的重量，则：

  1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

  1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，

  1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，

  1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^3)(1+x^3+x^4+x^7)

=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10 

  从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。

  例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

  故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 

 

 

 

//母函数模板

//形如(1+x^1+x^2+x^3+....+x^n)*(1+x^2+x^4+x^6+....+x^n)*......(1+x^m+x^2m+x^3m+....+x^n)

#include<iostream>
using namespace std;
const int lmax=10000;
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
{
int n,i,j,k;
while(cin>>n)
{
for(i=0;i<=n;i++)
{
c1[i]=1;c2[i]=0;
}
for(i=0;i<=n;i++) c1[i]=1;
for(i=2;i<=n;i++)//一共有几个大括号（以第一个大括号为首，从与第二个大括号开始乘，
//一直往下乘，直到完全算完，只有一个大括号）
{
for(j=0;j<=n;j++)//第一个大括号中的所有元素
for(k=0;k+j<=n;k+=i)//第i个大括号中的所有元素
{c2[j+k]+=c1[j];}
for(j=0;j<=n;j++)//得到一个新的第一个大括号
{
c1[j]=c2[j];c2[j]=0;
}

}
cout<<c1
<<endl;
}
return 0;
}