最近点对问题（分治）

在二维平面上的n个点中，如何快速的找出最近的一对点，就是最近点对问题。

一种简单的想法是暴力枚举每两个点，记录最小距离，显然，时间复杂度为O(n^2)。

在这里介绍一种时间复杂度为O(nlognlogn)的算法。其实，这里用到了分治的思想。将所给平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果这两个点分别在S1和S2中，问题就变得复杂了。

为了使问题变得简单，首先考虑一维的情形。此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1，x2，...，xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。显然可以先将点排好序，然后线性扫描就可以了。但我们为了便于推广到二维的情形，尝试用分治法解决这个问题。

假设我们用m点将S分为S1和S2两个集合，这样一来，对于所有的p(S1中的点)和q(S2中的点)，有p<q。

递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设

d = min{ |p1-p2| , |q1-q2| }

由此易知，S中最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{q3,p3}，如下图所示。



如果最接近点对是{q3,p3}，即|p3-q3|<d，则p3和q3两者与m的距离都不超过d，且在区间(m-d,d]和(d,m+d]各有且仅有一个点。这样，就可以在线性时间内实现合并。

此时，一维情形下的最近点对时间复杂度为O(nlogn)。

在二维情形下，类似的，利用分治法，但是难点在于如何实现线性的合并？



由上图可见，形成的宽为2d的带状区间，最多可能有n个点，合并时间最坏情况下为n^2,。但是，P1和P2中的点具有以下稀疏的性质，对于P1中的任意一点，P2中的点必定落在一个d X 2d的矩形中，且最多只需检查六个点（鸽巢原理）。

这样，先将带状区间的点按y坐标排序，然后线性扫描，这样合并的时间复杂度为O(nlogn)，几乎为线性了。

光说不练也不行，经过自己的思考和参考网上的程序，完成了最近点对的程序，并在各OJ上成功AC了。

POJ3714 ZOJ2107 HDU1007

[cpp] view
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/**

最近点对问题，时间复杂度为O(n*logn*logn)

*/

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

using namespace std;

const double INF = 1e20;

const int N = 100005;

struct Point

{

double x;

double y;

}point
;

int n;

int tmpt
;

bool cmpxy(const Point& a, const Point& b)

{

if(a.x != b.x)

return a.x < b.x;

return a.y < b.y;

}

bool cmpy(const int& a, const int& b)

{

return point[a].y < point[b].y;

}

double min(double a, double b)

{

return a < b ? a : b;

}

double dis(int i, int j)

{

return sqrt((point[i].x-point[j].x)*(point[i].x-point[j].x)

+ (point[i].y-point[j].y)*(point[i].y-point[j].y));

}

double Closest_Pair(int left, int right)

{

double d = INF;

if(left==right)

return d;

if(left + 1 == right)

return dis(left, right);

int mid = (left+right)>>1;

double d1 = Closest_Pair(left,mid);

double d2 = Closest_Pair(mid+1,right);

d = min(d1,d2);

int i,j,k=0;

//分离出宽度为d的区间

for(i = left; i <= right; i++)

{

if(fabs(point[mid].x-point[i].x) <= d)

tmpt[k++] = i;

}

sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);

//线性扫描

for(i = 0; i < k; i++)

{

for(j = i+1; j < k && point[tmpt[j]].y-point[tmpt[i]].y<d; j++)

{

double d3 = dis(tmpt[i],tmpt[j]);

if(d > d3)

d = d3;

}

}

return d;

}

int main()

{

while(true)

{

scanf("%d",&n);

if(n==0)

break;

for(int i = 0; i < n; i++)

scanf("%lf %lf",&point[i].x,&point[i].y);

sort(point,point+n,cmpxy);

printf("%.2lf\n",Closest_Pair(0,n-1)/2);

}

return 0;

}