平衡二叉树插入—单旋转双旋转问题

平衡二叉树插入一个节点时，往往会造成平衡二叉树的不平衡，这时就要我们编写程序恢复平衡二叉树的平衡。下图就因为插入了1，造成了树的不平衡。


 

总的来说，消除不平衡有两种方法，一个是单旋转，另一个是双旋转，双旋转就是两次单旋转的叠加。我记得大二数据结构的教材是分了LR LL RR RL这四种情况讨论。说实话，如此的说明方法，学生很难理解，书上全是些左旋转，右旋转搞得人一头雾水。

重要的是：决定用哪个节点代替失衡节点，只有两个选择，失衡节点的儿子或者失衡节点的孙子。 

接下来就好办了，无非就是互换一些子树的一些指针而已。
下面看两个例子：



我们看到，失衡节点都是3节点，左图中，3的儿子是2，孙子是1，右图正好相反。那我们用儿子节点还是孙子节点代替3节点呢？

左图是用儿子代替3节点，右图是用孙子代替3节点，这其中的规律是：判断孙子节点的值是否介于儿子和3节点值之间，如果是，则孙子代替失衡节点，如果否，则用儿子代替失衡节点（相当做了两个单旋转，失衡节点的孙子先和失衡节点的儿子互换，然后失衡节点的儿子与失衡节点互换）。

下面我们来做个练习，先后在一颗平衡二叉树中插入3，2，1，4~7， 16~10， 8，9



插入1时，我们知道只要用儿子代替失衡节点3即可


                          


当插入5时3节点失衡了，而且孙子并不是介于3和4 之间的，所以用儿子4代替3节点


                    


中间我省略了几步，当插入15后，失衡节点是7，它的儿子是16，孙子是15。15是介于7和16的，所以我们用孙子15代替失衡节点。

后面的就留给大家自己锻炼一下吧，我就不一一说了。