完全背包问题
2014-08-04 21:25
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这个是从PPT上弄过来的。
完全背包问题:
¡有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的耗费的空间是Ci,得到的价值是Wi。
¡求解:将哪些物品装入背包,可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量,且价值总和最大
基本思路:
¡这个问题非常类似于01背包问题,所不同的是每种物品有无限件。
¡从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……直至取⌊V/Ci⌋件等很多种。
¡如果仍然按照解01背包时的思路,令F[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程,像这样:
¡
¡
¡求解状态F[i,v]的时间是O(V/Ci)
¡总的时间复杂度为
简单的优化:
¡若两件物品i、j满足Ci<=Cj且Wi>=Wj,则将可以将物品j直接去掉,不用考虑。
§优化操作的时间复杂度O(NlogN)
¡首先将费用大于V的物品去掉,然后使用类似计数排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以O(V+N)地完成这个优化
转化为01背包求解:
¡最简单的想法是,考虑到第i种物品最多选⌊V/Ci⌋件,于是可以把第i种物品转化为⌊V/Ci⌋件费用及价值均不变的物品,然后求解这个01背包问题。
§时间复杂度没有变化
¡二进制优化
§把第i种物品拆成费用为Ci*2k、价值为Wi*2k的若干件物品,其中k取遍满足Ci*2k <=V 的非负整数。
§时间复杂度
void solve(int n,int v){
int i,j,ck,wk;
dp[0] = 0;
for(i=1;i<=v;i++) dp[i] = INF;
for(i=0;i<n;i++){
for(ck=c[i],wk=w[i];ck<=v;ck+=c[i],wk+=w[i]){
for(j=v;j>=ck;j--) dp[j] = MIN(dp[j],dp[j-ck]+wk);
}
}
}
void solve(int n,int v){
int i,j,ck,wk;
dp[0] = 0;
for(i=1;i<=v;i++) dp[i] = INF;
for(i=0;i<n;i++){
for(ck=c[i],wk=w[i];ck<=v;ck<<=1,wk<<=1){ for(j=v;j>=ck;j--) dp[j] = MIN(dp[j],dp[j-ck]+wk);
}
}
}
完全背包问题:
¡有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的耗费的空间是Ci,得到的价值是Wi。
¡求解:将哪些物品装入背包,可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量,且价值总和最大
基本思路:
¡这个问题非常类似于01背包问题,所不同的是每种物品有无限件。
¡从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……直至取⌊V/Ci⌋件等很多种。
¡如果仍然按照解01背包时的思路,令F[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程,像这样:
¡
¡
¡求解状态F[i,v]的时间是O(V/Ci)
¡总的时间复杂度为
简单的优化:
¡若两件物品i、j满足Ci<=Cj且Wi>=Wj,则将可以将物品j直接去掉,不用考虑。
§优化操作的时间复杂度O(NlogN)
¡首先将费用大于V的物品去掉,然后使用类似计数排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以O(V+N)地完成这个优化
转化为01背包求解:
¡最简单的想法是,考虑到第i种物品最多选⌊V/Ci⌋件,于是可以把第i种物品转化为⌊V/Ci⌋件费用及价值均不变的物品,然后求解这个01背包问题。
§时间复杂度没有变化
¡二进制优化
§把第i种物品拆成费用为Ci*2k、价值为Wi*2k的若干件物品,其中k取遍满足Ci*2k <=V 的非负整数。
§时间复杂度
void solve(int n,int v){
int i,j,ck,wk;
dp[0] = 0;
for(i=1;i<=v;i++) dp[i] = INF;
for(i=0;i<n;i++){
for(ck=c[i],wk=w[i];ck<=v;ck+=c[i],wk+=w[i]){
for(j=v;j>=ck;j--) dp[j] = MIN(dp[j],dp[j-ck]+wk);
}
}
}
void solve(int n,int v){
int i,j,ck,wk;
dp[0] = 0;
for(i=1;i<=v;i++) dp[i] = INF;
for(i=0;i<n;i++){
for(ck=c[i],wk=w[i];ck<=v;ck<<=1,wk<<=1){ for(j=v;j>=ck;j--) dp[j] = MIN(dp[j],dp[j-ck]+wk);
}
}
}
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