最长公共子序列问题(LCS)

最长公共子序列问题(LCS)

【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

思路：

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1）如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：



回溯输出最长公共子序列过程：



算法分析：

由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int max(int a,int b)
{
return a >= b ? a : b ;
}
int main()
{
string str1 = "ABCBDAB";
string str2 = "BDCABA";

int x_len = str1.length();
int y_len = str2.length();

int arr[50][50] = {{0,0}};

int i = 0;
int j = 0;

for(i = 1; i <= x_len; i++)
{
for(j = 1; j <= y_len; j++)
{
if(str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + 1;
}
else
{
arr[i][j] = max(arr[i][j-1],arr[i-1][j]);
}
}
}

for(i = 0 ; i <= x_len; i++)
{
for( j = 0; j <= y_len; j++)
{
cout << arr[i][j] << "  ";
}
cout << endl;
}
for(i = x_len, j = y_len; i >= 1 && j >= 1;)
{
if(str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
cout << str1[i - 1] << " ";//倒序打印的
i--;
j--;
}
else
{
//  if(arr[i][j -1] >= arr[i - 1][j])//打印：B A D B
if(arr[i][j -1] > arr[i - 1][j]) //打印:A B C B
{
j--;
}
else
{
i--;
}
}
}
cout << endl;
system("pause");
return 0;
}

输出结果为：A B C B （倒序输出的），应该存储起来倒序输出

附递归写法代码：

/*
题目描述：递归方法求最长公共子序列的长度

　　　　
采用技术：1)设有字符串a[0...n]，b[0...m]，下面就是递推公式。

当数组a和b对应位置字符相同时，则直接求解下一个位置；
当不同时取两种情况中的较大数值。
用递归的方法优点是编程简单，容易理解。缺点是效率不高，
有大量的重复执行递归调用，而且只能求出最大公共子序列的长度，
求不出具体的最大公共子序列。
开发者：geefine
开发日期：20140320

*/

#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[30],b[30];
int lena,lenb;
int LCS(int,int);///两个参数分别表示数组a的下标和数组b的下标

int main()
{
strcpy(a,"ABCBDAB");
strcpy(b,"BDCABA");
lena=strlen(a);
lenb=strlen(b);
printf("%d\n",LCS(0,0));
system("pause");
return 0;
}

int LCS(int i,int j)
{
if(i>=lena || j>=lenb)
return 0;
if(a[i]==b[j])
return 1+LCS(i+1,j+1);
else
return LCS(i+1,j)>LCS(i,j+1)? LCS(i+1,j):LCS(i,j+1);
}

附动态规划写法代码：

/*
题目描述：动态规划求最长公共子序列的长度

采用技术：动态规划采用二维数组来标识中间计算结果，避免重复的计算来提高效率。

最长公共子序列的长度的动态规划方程

设有字符串a[0...n]，b[0...m]，下面就是递推公式。字符串a对应的是二维数组num的行，
字符串b对应的是二维数组num的列。
另外，采用二维数组flag来记录下标i和j的走向。
数字"1"表示，斜向下；数字"2"表示，水平向右；数字"3"表示，竖直向下。
这样便于以后的求解最长公共子序列。
开发者：geefine
开发日期：20140320

*/

#include<stdio.h>
#include<string.h>

char a[500],b[500];
char num[501][501]; ///记录中间结果的数组
char flag[501][501];    ///标记数组，用于标识下标的走向，构造出公共子序列
void LCS(); ///动态规划求解
void getLCS();    ///采用倒推方式求最长公共子序列

int main()
{
int i;
strcpy(a,"ABCBDAB");
strcpy(b,"BDCABA");
memset(num,0,sizeof(num));
memset(flag,0,sizeof(flag));
LCS();
printf("%d\n",num[strlen(a)][strlen(b)]);
getLCS();
system("pause");
return 0;
}

void LCS()
{
int i,j;
for(i=1;i<=strlen(a);i++)
{
for(j=1;j<=strlen(b);j++)
{
if(a[i-1]==b[j-1])   ///注意这里的下标是i-1与j-1
{
num[i][j]=num[i-1][j-1]+1;
flag[i][j]=1;  ///斜向下标记
}
else if(num[i][j-1]>num[i-1][j])
{
num[i][j]=num[i][j-1];
flag[i][j]=2;  ///向右标记
}
else
{
num[i][j]=num[i-1][j];
flag[i][j]=3;  ///向下标记
}
}
}
}

void getLCS()
{

char res[500];
int i=strlen(a);
int j=strlen(b);
int k=0;    ///用于保存结果的数组标志位
while(i>0 && j>0)
{
if(flag[i][j]==1)   ///如果是斜向下标记
{
res[k]=a[i-1];
k++;
i--;
j--;
}
else if(flag[i][j]==2)  ///如果是斜向右标记
j--;
else if(flag[i][j]==3)  ///如果是斜向下标记
i--;
}

for(i=k-1;i>=0;i--)
printf("%c",res[i]);
}

最长公共子串和最长公共子序列的区别。
最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest
Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；
也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。
子序列(subsequence)的概念不同于串的子串。它是一个不一定连续但按顺序取自字符串X中的字符序列。
n例如：串"AAAG"就是串“CGATAATTGAGA”的一个子序列。