hdu-oj 2049 不容易系列之(4)——考新郎

 

不容易系列之(4)——考新郎

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[align=left]Problem Description[/align]
国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:



首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;

然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.

最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板...

看来做新郎也不是容易的事情...

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

 

[align=left]Input[/align]
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

 

[align=left]Output[/align]
对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

 

[align=left]Sample Input[/align]

2
2 2
3 2

 

[align=left]Sample Output[/align]

1
3 解题思路：错排+排列组合错排公式是什么 ：递推的方法推导错排公式　　当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
　　第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
　　第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-2个元素,有M(n-1)种方法;
　　综上得到
　　M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
　　特殊地，M(1)=0,M(2)=1
　　下面通过这个递推关系推导通项公式:
　　为方便起见，设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)
　　则N(1)=0,N(2)=1/2
　　n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
　　即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
　　于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!
　　因此
　　N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
　　N(2)-N(1)=(-1)^2/2!
　　相加，可得
　　N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
　　因此
　　M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
　　可以得到
　　错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)附代码：

#include<stdio.h>
__int64 c(__int64 n,__int64 m)//求排列组合
{
if(m==0||n==m)
return 1;
else
return c(n-1,m)+c(n-1,m-1);
}
int main()
{
__int64 a[22],i,n,m;
a[1]=0;a[2]=1;
for(i=3;i<=21;i++)
a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);//求I组全部错排的种类
__int64 t;
scanf("%I64d",&t);
while(t--)
{
scanf("%I64d %I64d",&n,&m);
printf("%I64d\n",c(n,m)*a[m]);
}
return 0;
}