HDOJ 4906 Our happy ending 状压DP
2014-08-01 16:55
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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4906
题意:
N个数的序列,每个数可以选择填0-L,如果一个序列可以选出某些数,他们的和为K,那么这个序列就是”好序列“,给定N<=20,K<=20,0<=L<=10^9,问好序列的个数。
分析:
N和K很小,所以要想办法利用这个特性(状压?搜索?)。虽然L很大,但实际上一个数大于K的时候,肯定是不能选他组成K的。我们就先考虑L<=K的做法。
然后还是考虑不出来。。
好吧,看题解吧。。
目前能搜到的题解都写得比较简单,我稍微详细一些?
dp[i][j],j用二进制来表示,第k位为1,说明已有的序列能选出几个数使得和为k,dp[i][j]就表示前i个数的序列能表示j的方案数。
初始dp[0][0]=1,answer是 Σdp
[j],其中j的第K位为1。
转移的话,逆推有点难想,还是顺推吧,第i+1个数,从0到L,我们分成0,1--K,K+1--L来考虑:
如果第i+1位选择0,那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][j],因为多了个0,能表示的和(j)还是一样。
如果第i+1位选择K+1到L中的数,那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][j],原因同上。
如果第i+1位选择1到K中的数,假设是x,那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][to],to = j|1<<(x-1)|(j<<x)&((1<<K)-1)
(重点)to中的j表示,我们不选择当前这个x能表示的和,1<<(x-1)表示只选择当前这个x能表示的和,最后一项是在之前已经能表示的和上再加上一个x,这些新的和我们都能表示了,同时为了不让他超过最大值,所以再和最大值按位与。
然后像背包一样倒序枚举,就可以省略掉i这一维。
代码:
题意:
N个数的序列,每个数可以选择填0-L,如果一个序列可以选出某些数,他们的和为K,那么这个序列就是”好序列“,给定N<=20,K<=20,0<=L<=10^9,问好序列的个数。
分析:
N和K很小,所以要想办法利用这个特性(状压?搜索?)。虽然L很大,但实际上一个数大于K的时候,肯定是不能选他组成K的。我们就先考虑L<=K的做法。
然后还是考虑不出来。。
好吧,看题解吧。。
目前能搜到的题解都写得比较简单,我稍微详细一些?
dp[i][j],j用二进制来表示,第k位为1,说明已有的序列能选出几个数使得和为k,dp[i][j]就表示前i个数的序列能表示j的方案数。
初始dp[0][0]=1,answer是 Σdp
[j],其中j的第K位为1。
转移的话,逆推有点难想,还是顺推吧,第i+1个数,从0到L,我们分成0,1--K,K+1--L来考虑:
如果第i+1位选择0,那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][j],因为多了个0,能表示的和(j)还是一样。
如果第i+1位选择K+1到L中的数,那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][j],原因同上。
如果第i+1位选择1到K中的数,假设是x,那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][to],to = j|1<<(x-1)|(j<<x)&((1<<K)-1)
(重点)to中的j表示,我们不选择当前这个x能表示的和,1<<(x-1)表示只选择当前这个x能表示的和,最后一项是在之前已经能表示的和上再加上一个x,这些新的和我们都能表示了,同时为了不让他超过最大值,所以再和最大值按位与。
然后像背包一样倒序枚举,就可以省略掉i这一维。
代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int mod = (int)1e9+7; int T, N, K, L, MAX, extra; long long dp[(1<<20)+10]; int main() { scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%d%d%d", &N, &K, &L); memset(dp, 0, sizeof(dp)); if (L > K){ extra = L - K; L = K; } else extra = 0; dp[0] = 1; MAX = (1 << K) - 1; for (int i = 1; i <= N; i++) for (int j = MAX; j >= 0; j--){ if (dp[j] == 0) continue; long long tmp = dp[j]; for (int k = 1; k <= L; k++){ int to = j | 1<<(k-1) | ((j<<k)&MAX); dp[to] += tmp; if (dp[to] >= mod) dp[to] -= mod; } //if (dp[j] != tmp) printf("%d %lld %lld\n", j, dp[j], tmp); dp[j] = (dp[j] + tmp * extra) % mod; } long long ans = 0; for (int i = 1 << (K-1); i <= MAX; i++){ ans += dp[i]; if (ans >= mod) ans -= mod; } printf("%I64d\n", ans); } return 0; }
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