树状数组：第K大值

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原文：http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2011/12/25/2301071.html



现在假设要求sum[a]的值，一般我们都是从后往前求和，如a=15

15-lowbit(15)=14;

14-lowbit(14)=12;

12-lowbit(12)=8;

8-lowbit(b)=0;

答案就是sum[15]+sum[14]+sum[12]+sum[8];

现在我们可以这样来求，从不超过15的只有一个1的最大二进制数开始，也可以理解为指数从log(15)取整开始，即3,2的3次等于8，依次加上2的2次，2的1次，2的0次，数字依次为8,12,14，15，也就是把普通的求和过程反向。

好了，方向求和有什么好处呢？

在求第k大的数的时候就派上用场了，虽然还有很多其他方法可以解决第k大的数，但树状数组无疑是最优雅的方法了

下面就以poj 2418这一题来简单说一下怎么求第k大的数

由于树状数组记录的是比当前元素小的数的个数，所以可以先把求第k大的数转换为求第num-k+1小的数，num是总的数的个数

int find_kth(int k)//太神奇了(大概是以前没有完全领会)，log(n)复杂度
{
int ans = 0, cnt = 0, i;
for (i = 20; i >= 0; i--)//利用二进制的思想，把答案用一个二进制数来表示
{
ans += (1 << i);
if (ans >= maxn|| cnt + c[ans] >= k)
//这里大于等于k的原因是可能会有很多个数都满足cnt + c[ans] >= k，所以找的是最大的满足cnt+c[ans]<k的ans
ans -= (1 << i);
else
cnt += c[ans];//cnt用来累加比当前ans小的总组数
}//求出的ans是累加和（即小于等于ans的数的个数）小于k的情况下ans的最大值，所以ans+1就是第k大的数
return ans + 1;
}

完整代码即详细注释

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 300000
int a[maxn],c[maxn],p[maxn];//值为i的数有i个
int find(int x){return x==p[x] ? x : p[x]=find(p[x]);}
int lowbit(int x){
return x&-x;
}
void update(int x,int d){
for(;x<=maxn;x+=lowbit(x))
c[x]+=d;
}//因为是从左往右手动求和了，所以也不需要sum()操作了
int find_kth(int k)//太神奇了(大概是以前没有完全领会)，log(n)复杂度
{
int ans = 0, cnt = 0, i;
for (i = 20; i >= 0; i--)//利用二进制的思想，把答案用一个二进制数来表示
{
ans += (1 << i);
if (ans >= maxn|| cnt + c[ans] >= k)
//这里大于等于k的原因是可能大小为ans的数不在c[ans]的控制范围之内，所以这里求的是 < k
ans -= (1 << i);
else
cnt += c[ans];//cnt用来累加比当前ans小的总组数
}//求出的ans是累加和（即小于等于ans的数的个数）小于k的情况下ans的最大值，所以ans+1就是第k大的数
return ans + 1;
}
/*
因为要求第k小的数，所以要从左往右加过去，
上述过程其实就是把树状数组的求和操作逆向，从左往右求和，
边求和边判断控制范围内比当前值要小的数是否超过或等于k,如果是则跳回兄弟节点(ans-=(1<<i))
如8+4=12，假如12不满足要求，则重新变回8，下一次就加2,8+2=10，即跳到10控制的位置
上述累加过程不会重复计算，因为
比如15=8+4+2+1，数字依次为8  12  14  15，每次累加后的值都与前面的值无关，i小于其二进制末尾0的个数
即c[8] 、c[12] 、c[14]、 c[15]相加的话不会重复计算，再如11=8+2+1;数字依次为8 10 11，c[8],c[10],c[11]
各自控制着自己的范围，不会重复累加，所以就可以用cnt来累加前面的结果，最后cnt+c[ans]就表示了值<=ans的个数
简言之：上述的各个数字两两间控制的范围不会相交
*/
int main()
{
int i,n,m,q,x,y,k,l,r;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1;
update(1,n);//初始状态值为1的数有n个
int num=n;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&q);
if(q==0)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) continue;
update(a[x],-1);
update(a[y],-1);
update(a[x]+a[y],1);
p[y]=x;
a[x]+=a[y];
num--;//合并集合
}
else
{
scanf("%d",&k);
k=num-k+1;//转换为找第k小的数
printf("%d\n",find_kth(k));
}
}
return 0;
}

二分做法

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 300000
int a[maxn],c[maxn],p[maxn];//值为i的数有i个
int find(int x){return x==p[x] ? x : p[x]=find(p[x]);}
int lowbit(int x){
return x&-x;
}
void update(int x,int d){
for(;x<=maxn;x+=lowbit(x))
c[x]+=d;
}
int sum(int x){
int ans=0;
for(;x>0;x-=lowbit(x))
ans+=c[x];
return ans;
}
int main()
{
int i,n,m,q,x,y,k,l,r;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1;
update(1,n);//初始状态值为1的数有n个
int num=n;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&q);
if(q==0)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) continue;
update(a[x],-1);
update(a[y],-1);
update(a[x]+a[y],1);
p[y]=x;
a[x]+=a[y];
num--;//合并集合
}
else
{
scanf("%d",&k);
k=num-k+1;//转换为找第k小的数
l=1;
r=n;
while(l <= r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(sum(mid) >= k) r=mid-1;//尽量往左逼近
else l=mid+1;
}
printf("%d\n",l);
}
}
return 0;
}

treap写法：比树状数组还快

#include<cstdio>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 300010;
#define L ch[rt][0]
#define R ch[rt][1]
int ch[maxn][2], aux[maxn] , num[maxn] , size[maxn] , cnt[maxn];
int val[maxn];
int tot,rt;
inline void init(){
size[0]=0;
rt = tot = 0;
ch[0][0] = ch[0][1] = 0;
aux[0] = 0;
}
inline void pushup(int rt){
size[rt]=cnt[rt]+size[L]+size[R];
}
inline void Rotate(int &rt,int f){//f=1:右旋  f=0：左旋
int t = ch[rt][!f];
ch[rt][!f] = ch[t][f];
ch[t][f] = rt;
pushup(rt);pushup(t);
rt = t;
}
void insert(int &rt,int key){
if(!rt) {
rt = ++tot;
val[rt] = key; L = R = 0; size[rt]=cnt[rt]=1;
aux[rt] = ( rand() << 14 ) + rand();
return ;
}
if(key==val[rt]) {
++cnt[rt];
}else if(key < val[rt]){
insert(L , key);
if( aux[L] < aux[rt] ) Rotate(rt,1);
}else {
insert(R , key);
if( aux[R] < aux[rt] ) Rotate(rt,0);
}
pushup(rt);
}
void treap_delete(int &rt){//real deletion
if(!L || !R){
rt=L?L:R;
}else {
if(aux[L] < aux[R]){
Rotate(rt,1);
treap_delete(R);
}else {
Rotate(rt,0);
treap_delete(L);
}
}
}
void del(int &rt , int key){//lazy deletion
if(key == val[rt]) {
cnt[rt]--;
size[rt]--;
if(cnt[rt]==0)
treap_delete(rt);
}
else {
if(key < val[rt])
del(L,key);
else
del(R,key);
size[rt]--;
}
}
int find(int rt,int key){
if(!rt) return 0;
else if(key < val[rt])  return find(L,key);
else if(key > val[rt])  return find(R,key);
else return cnt[rt];
}
//找后继结点
void succ(int rt,int key,int &ans){//找>=key的第一个结点，即后继结点
if(!rt)  return ;
if(val[rt] >= key){
ans=val[rt];
succ(L,key,ans);
}else
succ(R,key,ans);
}
//找前驱结点
void pre(int rt,int key,int &ans){
if(!rt) return ;
if(val[rt]<=key) {
ans=val[rt];
succ(R,key,ans);
}else
succ(L,key,ans);
}
int getmin(int rt){
while(L) rt=L;    return val[rt];
}
int getmax(int rt){
while(R) rt=R;   return val[rt];
}
//找第k小的数
int find_kth(int rt,int k){
if(k<size[L]+1)
return find_kth(L,k);
else if(k>size[L]+cnt[rt])
return find_kth(R,k-size[L]-cnt[rt]);
else return val[rt];
}
//确定key的排名
int treap_rank(int rt,int key,int cur){//cur:当前已知比要求元素（key）小的数的个数
if(key == val[rt])
return size[L] + cur + 1;
else if(key < val[rt])
treap_rank(L,key,cur);
else
treap_rank(R,key,cur+size[L]+cnt[rt]);
}
int a[maxn],c[maxn],p[maxn];//值为i的数有i个
int find(int x){return x==p[x] ? x : p[x]=find(p[x]);}
int main()
{
init();
int i,n,m,q,x,y,k,l,r;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) insert(rt,1);
int num=n;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&q);
if(q==0)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) continue;
del(rt,a[x]);
del(rt,a[y]);
insert(rt,a[x]+a[y]);
p[y]=x;
a[x]+=a[y];
num--;//合并集合
}
else
{
scanf("%d",&k);
k=num-k+1;//转换为找第k小的数
printf("%d\n",find_kth(rt,k));
}
}
return 0;
}